3.万有引力定律的应用必备知识·自主学习二、计算天体的质量【情境思考】已知一个人的重力,(1)如何求出地球的质量?(2)如何求地球的密度?提示:(1)地面上物体的重力等于万有引力或卫星所受的万有引力等于向心力。(2)地球的质量除以地球的体积。1.地球质量的计算:(1)思路:地球表面的物体,忽略地球_____影响,物体的重力等于______________________。(2)关系式:mg=_______。(3)结果:M=_____,只要知道g、R、G的值,就可计算出地球的质量。2.太阳质量的计算:(1)思路:绕中心天体运动的其他天体或卫星做_____________,向心力等于它与中心天体的万有引力,利用此关系建立方程求中心天体的质量。(2)关系式:=_______。(3)结论:M=______,只要知道了行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r,就可以计算出太阳的质量。3.其他行星的质量计算:若已知卫星绕行星的环绕周期T及环绕半径r,就可以计算行星的质量M=_____。关键能力·合作学习【典例示范】【典例1】(2020·眉山高一检测)若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r,则太阳质量与地球质量之比为()【解析】选B。地球绕太阳公转,由太阳的万有引力提供地球的向心力,则得:解得太阳的质量为:月球绕地球公转,由地球的万有引力提供月球的向心力,则得:解得地球的质量为:所以太阳质量与地球质量之比,故B正确。任务2天体密度的计算1.一般思路:若天体半径为R,则天体的密度将质量代入可求得密度。2.特殊情况:当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r可认为等于天体半径R,依据R=r,可得:【问题探究】(1)一卫星以r的半径绕质量为M的中心天体做周期为T的匀速圆周运动,如何求中心天体的质量?提示:(2)在其他条件均不变的情况下,中心天体的密度越小,中心天体的半径越大,中心天体的半径能大于卫星的轨道半径r吗?提示:不能【典例示范】【典例2】在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为g1、g2,地球自转周期为T,万有引力常量为G,若把地球看作一个质量均匀分布的圆球体,则地球的密度为()【解析】选B。质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力。根据万有引力定律和牛顿第二定律,在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求解,地球两极mg1=①,在地球赤道上-mg2=②,联立①②得R=,由①得M=,地球密度ρ==B正确。【素养训练】1.如果我们能测出月球表面的重力加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T,就能根据万有引力定律“称量”月球的质量M。已知引力常量G,则月球质量M为()【解析】选A。在月球表面重力与万有引力相等,有:=mg,可得月球的质量为:M=,故A正确,B错误;根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量,若根据月球绕地球圆周运动周期和轨道半径可求得中心天体地球的质量,无法求出月球的质量,故C、D均错误。2.某同学从网上得到一些地球和月球的信息,如表格中的数据所示,请根据题意,判断地球和月球的密度之比为()A.B.C.4D.6【解析】选B。设地球的质量为M,月球的质量为M0,地球的密度为ρ,月球的密度为ρ0;又忽略星球自转,星球表面上的物体所受重力等于万有引力,可得,所以,B正确。【加固训练】1.一个行星,其半径比地球的半径大2倍,质量是地球的25倍,则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的()A.6倍B.4倍C.倍D.12倍【解析】选C。根据得:g=,因为行星的质量是地球质量的25倍,半径是地球半径的3倍,则行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的倍。故C正确,A、B、D错误。2.(多选)由下列哪一组物理量可以计算地球的质量()A.月球的轨道半径和月球的公转周期B.月球的半径和月球的自转周期C.卫星的质量和卫星的周期D.卫星离地面的高度、卫星的周期和地球的半径【解析】选A、D。只要知道天体的一颗卫星或行星的周期和轨道半径,利用公式就可以计算出中心天体的质量,故选项A、D正确。知识点二天体运动的分析和计算任务1天体运动的分析1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动,所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供,所以研究天体时可建立基本关系式:=ma,式中a是向心加速度。2.常用的关系式:(1)万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg=即gR2=GM,物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。3.四个重要结论:设