第八章生命曲线预测方法生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如,多数生物的生长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条S形曲线，这就是生长曲线（增长曲线）。生长曲线（生长曲线）生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈某种生命曲线生物变化规律的一种曲线。第一节生命曲线的概念与一般模型一、例子1、人类成长的生命曲线例1人类身高的生长规律年龄身高36911212140身高15168181722117624178单位：cm27180301814876图5-1人身高成长曲线年龄2、生物生长的生命曲线例2南瓜重量随时间变化的生长曲线天重（克）24640081000102600123300143800164300184900205100225300245400120200重量天图5-2南瓜重量生长曲线例3销量导入期成长期成熟期衰退期t典型产品生命周期曲线补充知识：补充知识：n阶差分一阶差分二阶差分三阶差分一阶差分环比指数yt′=yt?yt?1yt′′=yt′?yt′?1yt(3)=yt′′?yt′′?1yt′yt′?1注意：增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着注意：增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶差分、二阶差分、三阶差分、一阶差分环比指数为一常数的特征。数为一常数的特征。二、成长曲线预测模型的基本类型（一）多项式增长曲线模型yt=a0+a1t+a2t+L+amt2m其中：ai―参数，t―时间,yt―经济目标值单指数型增长模型（二）简单指数型增长曲线模型t简单指数型增长曲线模型为：yt=ab其中：a,b―参数，t―时间,0＜b＜1yt―经济目标值（1）b＞1(0，a)0，t图简单指数型增长曲线图将（1）取对数，有：lgyt=lga+tlgb（2）（3）由（3）可知：①其对数曲线方程为一条直线。3②对数一阶差分为一常数。即：α=lga,β=lgblgyt=α+βtlgyt?lgyt?1=α+βt?α?β(t?1)=β=lgb结论:结论:当时间序列y的环比指数大体相等，当时间序列yt的环比指数大体相等，或时间序列的对数一阶差分近似为一常数，的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来拟合实际曲线。拟合实际曲线。（三）修正指数型增长曲线模型1、其模型为：y其模型为：t=k+abt（5）Q其一阶差分为：yt′=yt?yt?1=(k+abt)?(k+abt?1)=abt?1(b?1)yt′abt?1(b?1)∴一阶差分环比为：=t?2=byt′?1ab(b?1)结论∴当时间序列yt的环比指数大体相等或大体相等时环比指数大体相等或大体相等时，环比指数大体相等或大体相等时可用修正指数曲线来拟合实际曲线。可用修正指数曲线来拟合实际曲线。修正曲线模型的几种类型图yty∞=kytk＞0，a＜0，0＜b＜1k＞0，a＞1，b＞1y0=k+a图（a）饱和期y0=k+at图(b)成长期tyty0=kk＞0，a＜0，b＞1ytk＞0，a＞0，0＜b＜1y∞=k图（c）衰退期t图7-6修正曲线的几种类型图(d)饱和后期t（四）龚柏兹曲线模型其模型为：yt′=kabtQyt′=yt?yt?1?katyt=kabt?1t?1bt（1）yt′kab?kabkab(1?a)1===1=常数11bt?1bt?2yt′?1ka?kabt?1b2ka(1?a)ab(1+ab)t1b或由（1）可得：lgyt=lgk+btlga则有：lgyt=k1+a1bt（2）（3）龚柏兹曲线的几种类型图yt0＜a＜1，0＜b＜1yt0＜a＜1，b＞1y∞=ky∞=ky0=kyt图（a）成长期和成熟前期a＞1，b＞1t图(b)成长期后半期和衰退期tytty∞=ka＞1，0＜b＜1图（c）成长期图(d)衰退期t（五）罗吉斯曲线yt=1k+abt(9)(10)1=k+abtyt式中：k,a,b为待定参数.由（9）可得一阶、二阶导数为：?abtlnbytyt′=t2(k+ab)yt′′=?ab(lnb)(k?ab)(k+abt)3t2ty∞=1/kk＞0，a＞10＜b＜1取yt′′=0,可得曲线的一拐点为：y0=1/(k+a)