姓名第七讲等差数列答题要点：1，请写清楚中间步骤，并仔细计算【知识要点和基本方法】在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题。在三年级我们已经介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得准确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和的规律。1+2+3+…+98+99+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50，即（100+1）×（100÷2）=101×50=5050按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，…是等差数列,公差是1;1，3，5，7，…是等差数列，公差是2；5，10，15，20，…是等差数列，公差是5.由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：项数=（末项-首项）÷公差+1；第几项=首项+（项数-1）×公差；总和=（首项+末项）×项数÷2.本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值。我们要求同学们注意灵活应用这三个公式。【例题精讲】例1计算下面各题：（1）2+5+8+…+23+26+29；（2）（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）。解（1）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数为（29-2）÷3+1=10的等差数列求和。原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155（2）解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（100-99）=1×50=50.说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，从而解得更巧、更好。例2计算：1÷2003+2÷2003+3÷2003+…+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003.分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。解原式=（1+2+3+…+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002.说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。例3某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人。用最简便方法计算出得奖的一共又多少人？分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，…，15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）例4某体育馆西侧看台上有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？分析：要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上（30-1）×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个）所以（74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）例5学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场。若有20人比赛，那么一共要进行多少场选拔赛？若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？分析设20个选手分别是A1,A2,A2,…,A20,我们从选手A1，开始按顺序分析比赛场次：A1必须和A2，A3，A4，…，A20这19人各赛一场，共计19场；A2已和A1赛过，他只需和A3，A4，A5，…，A20这18名选手各赛一场，共计18场；A3已和A1，A2赛过，他只需与A4，A5，A6，…，A20这17名选手各赛一场，共计17场；依次类推，最后，A19只能和A20赛一场。然后对各参赛选手的场次求和即可。解（1）这20名选手一共需赛19+18+17+…+2+1=（19+1）×19÷2=190（场）。设参赛选手有n人，则比赛场次是1+2+3+…+（n-1），根据题意，有1+2+3+…+（n-1）=78,经过试验可知，1+2+3+…+12=78，于是n-1=12，n=13，所以，一共有13人参赛。说明，（1）也可这样想，20人每人都要赛19场，但“甲与乙”、“乙与甲”只能算一场，因此，共进行20×19÷