第三讲不等式、线性规划【考情快报】(1)本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要是考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围.(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题.【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.基本不等式当a>0,b>0时,≤_____(当且仅当a=b时取“=”).2.利用基本不等式求最值若p，s为常数，a，b∈(0，+∞).(1)当ab=s时，a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.即两数的积是定值,则两数的和有最小值.(2)a+b=p时,当且仅当a=b时等号成立.即两数的和是定值,则两数的积有最大值.提醒：运用以上两个结论时应满足一“正”,二“定”,三“相等”这三个条件.三、重要公式(1)a2+b2≥____(a，b∈R).(2)(3)四、常用结论一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是热点考向一比较大小与不等式的解法【典例】1.(2012·浙江高考)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()(A)若ea+2a=eb+3b，则a＞b(B)若ea+2a=eb+3b，则a＜b(C)若ea-2a=eb-3b，则a＞b(D)若ea-2a=eb-3b，则a＜b2.(2012·郑州模拟)设则不等式f(x)<2的解集为()(A)(,+∞)(B)(-∞,1)∪［2,)(C)(1,2］∪(,+∞)(D)(1,)3.(2012·江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域为［0，+∞),若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m+6),则实数c的值为_______.【解题指导】1.构造函数,转化为函数值之间的大小关系.2.分x≥2和x<2两种情况求解.3.根据函数f(x)的值域可知Δ=0,从而确定a，b的关系，再利用不等式解集的端点是对应方程的两根列方程组求解.【解析】1.选A.设f(x)=ex+2x，则f(x)=ex+2x为增函数,而(ea+2a)-(eb+2b)=b>0,∴a>b，故选A.2.选B.原不等式等价于或即或解得2≤x<或x<1.3.由题意a2-4b=0，所以f(x)＜c，可换为x2+ax+-c＜0，答案：9【互动探究】本例第2题中，条件不变，若f(a2)＜f(2a+3)，求a的取值范围.【解析】当x＜2时，f(x)=2ex-1=ex.即f(x)在(-∞，2)上为增函数.∴f(a2)＜f(2a+3)⇒当x≥2时，f(x)=log3(x2-1).则函数f(x)在［2，+∞)上为增函数.∴f(a2)＜f(2a+3)⇒综上可得：-1＜a＜-或≤a＜3.【拓展提升】1.比较两数(代数式)大小的“两种”思路(1)利用不等式的性质、基本不等式比较大小；(2)利用函数的单调性比较大小，必要时需构造函数.2.几类不等式的解题指导思想(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(组)求解.(3)解含“f”的不等式,首先要确定f(x)的单调性,然后根据单调性转化为不等式求解.热点考向二基本不等式及其应用【典例】1.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v,则()(A)a＜v＜(B)v=(C)(D)v=2.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是_______.【解题指导】1.根据基本公式:速度，计算平均速度，然后再根据基本不等式进行判断.2.根据x2+y2=(x+y)2-2xy,xy≤()2求解.【解析】1.选A.设甲、乙两地的路程为s，则往返时间分别是,,所以平均速度是v=因为a＜b,所以即a＜v＜,故选A.2.∵x2+y2+xy=1,∴(x+y)2=xy+1≤答案：【拓展提升】利用基本不等式求函数最值的关注点(1)一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值.(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件.(3)在使用基本不等式时,一般要把求最值的函数或代数式化为ax+的形式