2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、选B.解：.当时，取得最小值.2、选C.解：令，得.又由是的系数，是的系数知：，，从而，故，.3、选A.解：由已知得，而函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f（2012）=f（2）=－1,故选A.4、选D.解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有．所以当，且时，恒有．由于不等式的解集为，不等式的解集为．因此当时，恒有.故满足条件的a值有无数多个.5、选B.解：因为，所以，；；；．又，故故选B.6、选B.解：将1～5如图排列，，此时最大数两边是，次大数两边是，所求和值最小，任何调整都将使“和值”变大；此时，但是要和为17，因此还得增加2，由于5个数两两不同，故2增加在最大数5上，此时“和值”最小，最小值为：.二、填空题（每小题9分，共54分）1、.解：（1）（2）（1）-（2）化简得；（3）（1）×15+（2）×8化简得；（4）设的夹角为，则，.2、.解：在的延长线上取一点，使.易证，，平面．故．而，G到平面的距离为．故．3、.解：画树状图可得.4、.解：由已知及韦达定理，有，，，从而代数式=====625.5、.解：易知，，.而渐近线方程为.又右焦点到渐近线的距离为，故.6、.解：由及题设知，个位数字的选择有5种.因为，故（1）由知，首位数字的可能选择有种；（2）由及知，首位数字的可能选择有种.于是，符合题设的不同点的个数为.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：（I）若为偶数，则，(i)若为偶数，则[1]若为偶数，则……………………………5分(1)若为偶数，则①若为偶数，则符合②若为奇数，则符合(2)若为奇数，则，但不论m是奇数还是偶数，均不会使的分母出现3.……………………10分[2]若为奇数，则(1)若为偶数，则①若为偶数，则符合②若为奇数，则舍去(2)若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0.……………………………15分(ii)若为奇数，则，但从正整数m递推不可能使的分母出现3（II）若为奇数，则，但不论正整数m是奇数还是偶数，均不会使等于0.综上所述m所有可能的取值为{32，5，4}.…………………………20分2、证明：如图，连结、，分别取、的中点、，则四边形是平行四边形.…………………………5分于是，得,又由，，,从而≌，.……………………10分故，又，，得，由于，，从而、、、和、、、分别四点共圆.……………………15分于是，，，故……………………………………20分3、解：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.………………5分因为又，所以，由题意得.此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).所以C点的轨迹方程为………………………………10分(2)不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简，得显然有△≥0，所以而由椭圆第二定义可得………………15分只要考虑的最小值，即考虑取最小值.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得.但在，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.……………………20分