双曲线平面内到两个定点퐹1,퐹2的距离之差的绝对值是常数2a(2a<|퐹1퐹2|)的点的轨迹。x2y2y2x2方程1(a0,b0)1(a0,b0)a2b2a2b2简图_y_y_O_x_O_x范围xa或xa,yRya或ya,xR顶点(a,0)(0,a)焦点(c,0)(0,c)渐近线bayxyxab离心率cce(e1)e(e1)aa对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称a2a2准线方程xycca、b、c的c2a2b2关系考点题型一求双曲线的标准方程nx2y21、给出渐近线方程yx的双曲线方程可设为(0)，与双曲线mm2n2x2y2x2y21共渐近线的方程可设为(0)。a2b2a2b22、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。5（1）虚轴长为12，离心率为；4（2）焦距为26，且经过点M（0，12）；x2y2（3）与双曲线1有公共渐进线，且经过点A3,23。916x2y2y2x2解：（1）设双曲线的标准方程为1或1(a0,b0)。a2b2a2b2c5由题意知，2b=12，e=。a4∴b=6，c=10，a=8。x2y2x2∴标准方程为361或1。646436（2）∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。又2c=26，∴c=13。∴b2c2a2144。y2x2∴标准方程为1。14425푥2푦2x2y2‒=휆（3）设双曲线的方程为916a2b2QA3,23在双曲线上232231∴1得91644x2y2所以双曲线方程为194题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者c的关系，构造出e和c2a2b2的关系式。ax2y2【例2】双曲线1(a0,b0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且a2b24点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥c。求双曲线的离心率5e的取值范围。xy解：直线l的方程为1，级bx+ay-ab=0。abb(a1)由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1，a2b2b(a1)同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2，a2b22ab2absd1d2。a2b2c42ab4由s≥c，得≥c，即5ac2a22c2。5c5于是得5e212e2，即4e425e2250。55解不等式，得e25。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e5。42x2y2【例3】设F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使a2b2oF1AF290，且︱AF1︱=3︱AF2︱，求双曲线的离心率。o解：∵F1AF290222∴AF1AF24c又︱AF1︱=3︱AF2︱，∴AF1AF22AF22a即AF2a，2222222∴AF1AF29AF2AF210AF210a4c，c101010∴即e。a422题型三直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程AxByC0组，即，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共222222bxayab点和相切不是等价的。2、直线与双曲线相交所截得的弦长：1l1k2xx1yy21k221uuuuruuur【例4】如图，已知两定点F1(2,0),F2(2,0)，满足条件PF2PF12的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果AB63，且曲线E上存在yuuuruuuruuur点C，使OAOBmOC，求A（1）曲线E的方程；C（2）直线AB的方程；（3）m的值和△ABC的面积S。BOx解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线的左支，且c2，a=1，易知bc2a21。故直线E的方程为x2y21(x0)，(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),y=kx-1由题意建立方