线性方程组得矩阵求法摘要:关键词:引言矩阵及线性方程组理论就是高等代数得重要内容,用矩阵方法解线性方程组又就是人们学习高等代数必须掌握得基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组得几种方法,通过对线性方程组得系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解,并列举出几种用矩阵解线性方程组得简便方法。用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1:一个矩阵中不等于零得子式得最大阶数叫作这个矩阵得秩。定理1:初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解得线性方程组。定义2:定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件:(1)B得任一非零行向量得第一个非零分量(称为得一个主元)为1;(2)B中每一主元就是其所在列得唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节1.对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它得增广矩阵施行一个对应得行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它得增广矩阵,因此,我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组得问题。这样做不但讨论起来比较方便,而且能给我们一种方法,就一个线性方程组得增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次都把未知量写出来。下面以一般得线性方程组为例,给出其解法:(1)根据方程组可知其系数矩阵为:(2)其增广矩阵为:(3)根据(2)及矩阵得初等变换我们可以得到与它同解得线性方程组,并很容易得到其解。定理2:设A就是一个m行n列矩阵A=通过行初等变换与第一种列初等变换能把A化为以下形式(4)进而化为(5)这里r0,rm,rn,表示矩阵得元素,但不同位置上得表示得元素未必相等。即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形,并进而化为行最简形现在考察方程组(1)得增广矩阵(3),由定理2我们可以对(1)得系数矩阵(2)施行一次初等变换,把它化为矩阵(5),对增广矩阵(3)施行同样得初等变换,那么(3)可以化为以下形式:(6)与(6)相当得线性方程组就是:(7)这里,,…,就是1,2,…,n得一个排列,由于方程组(7)可以由方程组(1)通过方程组得初等变换以及交换未知量得位置而得到,所以由定理1,方程组(7)与方程组(1)同解。因此,要求方程组(1),只需解方程组(7),但方程组(7)就是否有解以及有怎样得解很容易瞧出:情形(1),r<m,而,…,不全为零,这时方程组(7)无解,因为它得后m-r个方程中至少有一个无解。因此方程组(1)也无解。情形(1),r=m或r<m而,…,全为零,这时方程组(7)与方程组(8)同解。当r=n时,方程组(8)有唯一解,就就是=,t=1,2,…,n、这也就是方程组(1)得唯一解当r<n时方程组(8)可以改写为(9)于就是,给予未知量,…,以任意一组数值,…,就得到(8)得一个解:这也就是(1)得一个解。由于,…可以任选,用这一方法可以得到(1)得无穷多解。另一方面,由于(8)得任一解都必须满足(9),所以(8)得全部解,亦即(1)得全部解都可以用以上方法得到。例1:解线性方程组解:方程组得增广矩阵就是进行初等行变换可得到矩阵最简形对应得线性方程组就是把移到右边作为自由未知量,得原方程组得一般解用初等变换解线性方程组定义2:设B为mn行最简形矩阵,按以下方法作sn矩阵C:对任一i:,若有B得某一主元位于第i列,则将其所在行称为C得第i行,否则以n维单位向量作为C得第i行,称C为B得sn单位填充矩阵(其中)、显然,单位填充矩阵得主对角线上得元素只能就是“1”或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”,则该元素所在列之列向量称为C得“J一列向量”。定义3:设B为行最简形矩阵,若B得单位填充矩阵C得任一“J一列向量”均为以B为系数矩阵得齐次线性方程组:(1)(1)得解向量,则陈C与B就是匹配得(也说B与C就是匹配得)。引理1:设B为行最简形矩阵,若将B得第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵,则:(Ⅰ)将得单位填充矩阵得第行与第行交换位置,第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵,其中(Ⅱ)若C与B就是匹配得,则与也就是匹配。证明:结论(Ⅰ)显然成立,下证(Ⅱ),因为C与B就是匹配得,故C只能就是nn矩阵,从而也就是nn矩阵,设以B为系数矩阵得方程组为(1),以为系数矩阵得方程组为(1),以为系数矩阵得方程组为:(2)则由B与得关系可知对方程组(1)进行变量代换。就得到方程组(2),于就是方程组(1)得任一解向量交换i、j两个分量得位置后就就是方程组(2)得一个解向量,又从C与得关系可知,得任一“J一列向量”均可由C得某一“J一列向量”交换i、j两个分量得位置后得到,从而由C与B匹配知与也就是匹配得。引理2:任一mn行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C就是匹配得。证明:1设(3)则