课后素养落实(十)数学归纳法(建议用时：40分钟)一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3C[因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．]2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9kC[因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k．]3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)B[n∈N＋且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，就完成了归纳递推．]4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝eq\f(n＋3n＋4,2)(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4[答案]D5．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1．那么当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确D[此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．]二、填空题6．用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是________．2＋f(1)＝2f(2)[因为n≥2，所以n0＝2．观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f(1)＝2f(2)．]7．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)＞eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)[观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了eq\f(1,k＋22)这一项．]8．[一题两空]用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋且n>1)第一步要证明的不等式是________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<22k[当n＝2时，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2．当n＝k时到第2k－1项，而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k．]三、解答题9．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，aeq\o\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq\o\al(2,n)，求证：当n∈N＋时，an<an＋1．[证明](1)当n＝1时，因为a2是方程aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0的非负根，所以a2＝eq