南京航空航天大学2023年硕士研究生招生考试试题科目代码：814科目名称：高等代数考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效一、已知三阶矩阵−1−26ᵃ=(−10ᵄ)−1−14ᵅ(ᵆ)=|ᵆᵃ−ᵃ|是ᵃ的特征多项式，且(ᵆ−1)2是ᵃ的最小多项式。（1）求ᵄ及ᵅ(ᵆ)；（2）求ᵃ的初等因子；（3）ᵃ是否与对角矩阵相似？请说明理由。0111二、已知矩阵ᵃ=(ᵄ21)有特征向量ᵯ=(1)。1−1ᵄ−1（1）求ᵄ，ᵄ的值；（2）求可逆矩阵ᵅ，使得ᵄ−1ᵃᵄ为对角阵；（3）求ᵃ2022。三、设ᵄ是由向量ᵯ=(1,1,ᵯ)ᵄ，ᵯ=(−2,ᵯ,4)ᵄ，ᵯ=(−2,ᵯ,−2)ᵄ生成的的ℝ3的子1123空间，ᵄ是由ᵯ=(1,1,ᵯ)ᵄ，ᵯ=(1,ᵯ,1)ᵄ，ᵯ=(ᵯ,1,1)ᵄ生成的ℝ3的子空间。2123（1）若ᵄ的维数为1，求ᵯ的值；2（2）若ᵄ=ᵄ，求ᵯ的取值范围；12（3）求ᵄ+ᵄ维数的取值范围。12四、设ᵰ为ℝ3上的线性变换，ᵰ=(1,1,0)ᵄ，ᵰ=(0,1,1)ᵄ，ᵰ=(1,1,1)ᵄ，且123ᵰ(ᵰ)=(0,−1,1)ᵄ,ᵰ(ᵰ)=(1,1+ᵄ,0)ᵄ,ᵰ(ᵰ)=(1,ᵄ−1,1)ᵄ。123（1）求ᵰ在基ᵰ=(1,0,0)ᵄ，ᵰ=(0,1,0)ᵄ，ᵰ=(0,0,1)ᵄ下的矩阵ᵃ；123（2）若ᵰ可对角化，求ᵄ的值；（3）当ᵄ=2时，求一多项式ᵅ(ᵆ)，使得ᵅ(ᵃ)=ᵃ−1。五、设三阶实矩阵ᵃ的3个列向量ᵯ，ᵯ，ᵅ线性无关，二次型ᵅ(ᵆ)=(ᵯᵄᵆ)2+(ᵯᵄᵆ)2+(ᵅᵄᵆ)2，其中ᵆ=(ᵆ,ᵆ,ᵆ)ᵄ。123（1）求此二次型的矩阵ᵃ；（2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型；（3）是否存在正定矩阵ᵄ，使得ᵃ=ᵄ3？并说明理由。六、解答如下问题（1）判别多形式ᵆ6−5ᵆ+6在复数域ℂ上有无重因式；（2）设ᵅ阶矩阵ᵃ满足ᵃ4=ᵃ，证明：在复数域ℂ上一定可对角化；ᵃᵄ（3）设ᵃ，ᵃ是两个ᵅ阶矩阵，且满足()在数域ᵄ上可对角化。证明：在数域ᵄ上，ᵄᵃᵃ，ᵃ均可对角化。七、设ᵃ，ᵃ是两个ᵅ阶矩阵，且ᵃᵃ=ᵃ+ᵃ。证明：（1）ᵃᵃ=ᵃᵃ；（2）ᵰ=1不是ᵃ的特征值；（3）若ᵃ相似于对角阵，则存在可逆矩阵ᵄ，使得ᵄ−1ᵃᵄ，ᵄ−1ᵃᵄ同时为对角阵。八、设ᵄ是数域ᵄ上的ᵅ维线性空间，ᵄ，ᵄ是ᵄ的两个子空间，并且ᵄ=ᵄ⊕ᵄ。任给ᵯ=ᵯ+ᵯ∈ᵄ，其中ᵯ∈ᵄ，ᵯ∈ᵄ，令ᵰ(ᵯ)=ᵯ。记ᵃⅇᵅ={ᵯᵰ∈ᵄ|ᵰ(ᵯ)=0}，ᵃᵅ=ᵰ12121{ᵰ(ᵯ)|ᵯ=ᵄ}。证明：（1）ᵰ是ᵄ上的线性变换，且ᵰ2=ᵰ；（2）ᵃⅇᵅ=ᵄᵰ，ᵃᵅ=ᵰᵄ；（3）ᵰ可对角化。