四、随机变量的数字特征分布名称密度函数分布函数1、数学期望概率论和数理统计公式集锦xx指数分布e,x01e,x0f(x)F(x)①定义：离散型E(X)xkpk，连续型E(X)xf(x)dxX:e()0,x0一、随机事件与概率0,x0k12(x)2公式名称公式表达式(t)12x正态分布f(x)e2122②性质：E(C)C,E[E(X)]E(X)，E(CX)CE(X)，德摩根公式F(x)edtAUBAIB，AIBAUB22X:N(,)2E(XY)E(X)E(Y)mA事事事事事事事事古典概型P(A)xn事事事事事事E(aXb)aE(X)b，当X、Y相互独立时：E(XY)E(X)E(Y)x2(A)1212、方差P(A)，其中μ为几何度量（长度、面积、体标准正态分布(x)e1xt2几何概型()2(x)e2dt①定义：D(X)E[(XE(X))2]E(X2)E2(X)X:N(0,1)2积）x②性质：D(C)0，D(aXb)a2D(X)，求逆公式P(A)1P(A)4、随机变量函数Y=g(X)的分布D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)离散型：P(Yy)p,i1,2,L，当X、Y相互独立时：D(XY)D(X)D(Y)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)ij加法公式g(x)y当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)ji3、协方差与相关系数连续型：①分布函数法，②公式法减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA时P(A-B)=P(A)-P(B)①协方差：Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)，当X、Y相互独立时：f(y)f(h(y))h(y)(xh(y)事事)Cov(X,Y)0P(AB)YXP(BA)Cov(X,Y)条件概率公式②相关系数：，当X、Y相互独立时：0(X,Y不相P(A)三、多维随机变量及其分布XYXY与乘法公式D(X)D(Y)P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)1、离散型二维随机变量及其分布关)分布律：L分布函数P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,F(X,Y)pijnxixyiy③协方差和相关系数的性质：Cov(X,X)D(X)，Cov(X,Y)Cov(Y,X)全概率公式P(A)P(Bi)P(ABi)边缘分布律：Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)，Cov(aXc,bYd)abCov(X,Y)i1piP(Xxi)pijpjP(Yyj)pijji4、常见随机变量分布的数学期望和方差P(Bi)P(ABi)p分布数学期望方差贝叶斯公式P(BA)条件分布律：P(XxYy)ij,i1,2,L，inijp（逆概率公式）j0-1分布b(1,p)pp(1-p)P(Bi)P(ABi)i1pij二项分布b(n,p)npnp(1-p)P(YyjXxi),j1,2,LP(AB)P(A)P(B)；P(BA)P(B)；P(BA)P(BA)pi两个事件泊松分布P()、连续型二维随机变量及其分布相互独立；2ab(ba)2①分布函数及性质均匀分布U(a,b)xy212二、随机变量及其分布分布函数：F(x,y)f(u,v)dudv221、分布函数正态分布N(,)2F(x,y)11P(Xxk)性质：F(,)1,f(x,y),P((x,y)G)f(x,y)dxdy指数分布e()2xkxxyGF(x)P(Xx),P(aXb)F(b)F(a)xf(t)dt②边缘分布函数与边缘密度函数x五、大数定律与中心极限定理分布函数：FX(x)f(u,v)dvdu密度函数：fX(x)f(x,v)dv2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律y1、切比雪夫不等式F(y)f(u,v)dudvf(y)f(u,y)du0–1分布YYD(X)P(Xk)pk(1p)1k,k0,1若E(X),D(X)2,对于任意0有P{XE(X)}X:b(1,p)③条件概率密度2二项分布f(x,y)f(x,y)、大数定律：①切比雪夫大数定律：若相互独立，