一类奇异p-laplacian方程解的存在性与正则性的任务书任务书题目：一类奇异p-laplacian方程解的存在性与正则性研究背景：p-Laplacian算子是一种非线性偏微分算子，它在材料科学、生物医学、天文学等领域被广泛应用。近年来，随着p-Lapacian方程在实际应用中的不断涌现，其解的存在性和正则性问题也变得越来越重要。在p-Lapacian方程的研究中，存在奇异解这一问题一直备受研究者关注。一类奇异p-Lapacian方程是指在方程中包含一个具有奇异性质的项，其解可能在某些点发散或者变为无限大。因此，解的存在性和正则性成为研究者需要解决的核心问题。研究目的：本课题旨在研究一类奇异p-Laplacian方程解的存在性与正则性问题，探究包含奇异项的方程解的性质，寻求适用的解析方法和数值方法。研究内容：（1）研究奇异p-Laplacian方程的定义、特点以及在实际应用中的应用情况。（2）分析一类包含奇异项的p-Laplacian方程解的存在性，通过构造Lyapunov函数研究方程的稳定性，探究解在方程特定条件下的存在性。（3）探究奇异p-Laplacian方程解的正则性问题，分析解在方程中的奇异行为，研究条件下基本解的唯一性和Hölder正则性等问题。（4）基于有限元方法，分析奇异p-Laplacian方程的数值解法，探究数值方法中的收敛性和稳定性，验证理论结果的正确性。研究方法：本课题采用理论研究和数值模拟相结合的方法。（1）理论研究：通过构造Lyapunov函数研究方程的稳定性，探究解在方程特定条件下的存在性。分析解在方程中的奇异行为，研究条件下基本解的唯一性和Hölder正则性等问题。（2）数值模拟：采用有限元方法分析奇异p-Laplacian方程的数值解法，探究数值方法中的收敛性和稳定性，验证理论结果的正确性。预期结果：通过理论研究和数值模拟，本课题预期取得以下成果：（1）探究一类奇异p-Laplacian方程解的存在性问题，给出解存在的充分条件。（2）研究奇异p-Laplacian方程解的正则性问题，得到条件下基本解的唯一性和Hölder正则性等性质。（3）分析奇异p-Laplacian方程的数值解法，探究数值方法中的收敛性和稳定性。（4）通过理论和数值分析，对包含奇异项的p-Laplacian方程的解进行深入探究和研究，对相关领域的研究将有所促进。参考文献：[1]C.Li,J.Lü,Y.N.Dai.Existenceanduniquenessofnontrivialsolutionsforaclassofsingularp-Lapacianproblem.AppliedMathematicsandComputation,2013,225:428-436.[2]X.Zhang,C.Li.UniqueContinuationPropertiesforSolutionsofNonlinearP-LaplacianEquations.ActaMathematicaScientia,2015,35B(6):1613-1636.[3]M.M.El-Borai.Existenceandasymptoticbehaviorofsolutionsforaclassofp-Laplaciannonlinearparabolicequations.JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2006,316:214-233.[4]K.R.Rajagopal,A.Gupta.Solutionsofsingularp-Laplacianequations.NonlinearAnalysis:RealWorldApplications,2013,14:2025-2040.