退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题的开题报告题目：退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题一、研究背景和意义退化椭圆方程是指系数矩阵在某些点或某些方向上变得不正则的椭圆方程。在数学物理学中，退化椭圆方程经常出现在具有对称性的问题中，如松弛化极小曲面问题，极小曲面问题、低维流体力学问题等。其所描述的问题具有广泛的应用价值，例如：材料科学、图像处理、计算机科学及信号处理等领域都会用到退化椭圆方程。因此，研究退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题有着重要的理论与实际意义。二、研究现状和存在问题退化椭圆方程是一类非常复杂的偏微分方程，难以直接求解，目前该领域的研究还存在一定的困难。事实上，退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题一直是偏微分方程领域一个很重要的研究课题，已经有了很多重要的研究工作。但目前依然存在以下几个问题：（1）退化椭圆方程的定义尚不够严谨，需要更加明确方程中系数矩阵的退化形式。（2）很弱解中的唯一性问题，需要一个更为准确的表述，并考虑应用问题的实际需求进行研究。（3）当前对正则性条件的研究主要是在局部范围内得到的，研究如何在更宽泛的范围内得到正则性条件。三、研究内容和方法本文旨在系统地研究退化椭圆方程很弱解的正则性及唯一性问题，并通过合理的假设条件，提出一些新的结论。主要研究内容如下：（1）详细分析退化椭圆方程系数矩阵的退化形式，提出一个更为明确的定义。（2）对很弱解中的唯一性问题，我们将结合讨论经典偏微分方程理论，提出一些具有实际应用价值的结论。（3）综合利用局部和全局的分析技术，研究正则性条件，并得到一些新的结论。本文的研究方法主要涉及局部和全局分析技术，利用分支分析和双曲型方程的知识，通过结合经典偏微分方程理论的分析和应用，采取柔性的假设条件，得到一些新的结论，解决在相关研究中已有进展但尚未得到解决的问题。四、研究预期成果通过本文的研究，我们预计得到以下成果：（1）提出一个更为明确的退化椭圆方程的定义，为后续相关研究提供基础。（2）研究很弱解中的唯一性问题，提出具有实际应用价值的新结论。（3）得到更普遍的、更直观的正则性条件，为进一步研究退化椭圆方程提供新的思路和方法。五、参考文献[1]JerisonD,KenigC.TheinhomogeneousDirichletprobleminLipschitzdomains[J].J.Funct.Anal.,1982,43(2):97-142.[2]LittmanW,StampacchiaG,WeinbergerHF.Regularpointsforellipticequationswithdiscontinuouscoefficients[J].Ann.ScuolaNorm.Sup.PisaCl.Sci.,1963,17:43-77.[3]CapognaL,DanielliD,GarofaloN,etal.AnembeddingtheoremandtheHarnackinequalityfornonlinearequationswithVMOcoefficientsinCarnotgroups[J].Comm.PureAppl.Math.,2001,54(8):891-922.[4]SavinO,SternbergP.Ellipticequationswithlargeexponentinnondivergenceform[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,2013,210(3):767-800.[5]VasseurA,YuX.Ontheregularityofmildsolutionsofnonlinearparabolicequationsindivergenceform[J].J.Funct.Anal.,2013,265(4):635-667.