椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中（一个三角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3参数方程：焦点在x轴，（为参数）4一般方程：5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：范围：|x|≤a，|y|≤b；对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；=4\*GB3④椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称=5\*GB3⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0，左加右减，上减下加=6\*GB3⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=平面几何性质：=7\*GB3⑦离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆。=8\*GB3⑧焦准距；准线间距=9\*GB3⑨两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）的性质可类似的给出。6．焦点三角形应注意以下关系：HYPERLINK"http:///"(1)定义：r1＋r2＝2aHYPERLINK"http:///"(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2HYPERLINK"http:///"(3)面积：＝r1r2sin＝·2c|y0|=c|y0|=(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆（a＞b＞0）的共焦点椭圆设为8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式：（a,b,c为方程的系数考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(a－c);(2),此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A.3B.6C.12D.24[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4