数理学院JINGGANGSHANUNIVERSITY毕业论文（设计）等价无穷小量在求极限上的应用姓名齐长春单位地址井冈山大学邮政编码343009专业数学与应用数学系（院）数理学院指导教师李冬生2013年5月1日目录TOC\o"1-3"\h\z\u摘要–––––––––––––––––––––––––––––1引言–––––––––––––––––––––––––––––2一、无穷小量–––––––––––––––––––––––––31.1无穷小量的定义––––––––––––––––––––––3HYPERLINK\l"_Toc261009117"1.2等价无穷小量的一些基本性质––––––––––––––––––3HYPERLINK\l"_Toc261009118"1.3无穷小量阶的比较及等价无穷小量的定义––––––––––––––3HYPERLINK\l"_Toc261009120"二、等价无穷小量–––––––––––––––––––––––4HYPERLINK\l"_Toc261009121"2.1等价无穷小量的重要性质––––––––––––––––––––4HYPERLINK\l"_Toc261009122"2.2一些常用的等价无穷小量––––––––––––––––––––4HYPERLINK\l"_Toc261009125"三、极限问题的解法––––––––––––––––––––––53.1可以直接求极限的问题–––––––––––––––––––––53.2用两个重要极限求极限–––––––––––––––––––––53.3用洛必达法则求极限––––––––––––––––––––––63.4用等价无穷小量求极限–––––––––––––––––––––73.5等价无穷小代换的局限性––––––––––––––––––––83.6阶数的求法–––––––––––––––––––––––––93.7利用泰勒公式求函数极限––––––––––––––––––––9四、等价无穷小替换的优势–––––––––––––––––––11五、方法总结–––––––––––––––––––––––––12参考文献–––––––––––––––––––––––––––13英文摘要–––––––––––––––––––––––––––14【摘要】无穷小量从提出到正式的定义经过了一番曲折，还引发了一次数学危机，等价无穷小量的提出，在微积分领域可以说具有划时代的意义，它为解决正项级数与极限等类型的问题带来了很大的方便，特别是在极限问题上。这里我们只重点讨论它在求极限方面的应用以及优势，等价无穷小代换是一种应用很广泛的求极限方法，但是要注意遵守无穷小量的替换法则，才能使得计算简化而又不出错，当然本文会具体去讨论应用中要注意的事项。正确使用等价无穷小量能解决洛必达法则所不能解决的问题。在求极限问题中，方法有很多，比如利用两个重要的极限求极限，利用洛必达法则还有等价无穷小替换以及泰勒公式等方法求极限，这些方法都有它的优越性，但是我们总想要去寻求一种最简单便捷的方法得到结果，其中等价无穷小替换有着不可替代的地位，以及优越的简化计算的作用。【关键词】等价无穷小量；洛必达法则；两个重要的极限；泰勒公式；优越性。引言微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。其实微积分是由牛顿和莱布尼茨独自完成的，一开始他们就是从直观的无穷小量开始的。数学中的分析学早期就叫无穷小分析，无穷小量在当时是一个让人头疼的概念。按照牛顿的流数法来计算导数的方法如下：算法虽然很简单，可是确实有矛盾。我们知道，要使等式中式成立，则必需≠0，而要式成立，则需。问题就成了讨论到底是不是0?如果是零0，怎么能用它做除数?如果不是，又怎么能把包含着的项去掉呢?这也是当时微积分的一个悖论——贝克莱悖论。就这样，在完善微积分基础理论问题的过程中，数学界出现了比较混乱的局面，并由此引发了第二次数学危机。直到柯西系统地发展了极限理论。他认为，如果硬要把这里的作为确定的量，即使是0，都不算准确，它会与极限的定义发生矛盾；应该是要它如何小就如何小的量，将这样一个量命名为无穷小量。所以，本质上它是以零为极限的变量。定义为变量，才解开了人们对无穷小量概念的模糊认识。第二次数学危机结束，贝克莱悖论得到解决。改用极限的概念,那么求导数的过程就可以改写为：这样，就没有矛盾了。于是，无穷小量正式诞生了。一、无穷小量1.1无穷小量的定义设f在某空心邻域内有定义.若,则称