量子力学算符的对易关系两力学量同时有确定(quèdìng)值的条件不确定(quèdìng)关系一、算符的对易关系(guānxì)：1.坐标算符和动量算符的对易关系该式称为和的对易关系，等式右边不等于0，即和不对易。以上可总结为基本(jīběn)对易关系：a.称为与的对易关系，等于0称二算符对易；否则称二算符不对易。2.角动量算符的对易关系(guānxì)：说明：利用(lìyòng)算符对易关系的运算法则可以大大简化算符对易关系的证明，例如：/说明：若和有一组共同本征函数，并不一定能够得到=0的结论，除非组成完全系。而非简并，2.不同力学(lìxué)量取确定值的条件：例如(lìrú)：解释：前面已证：[]=0说明：[]=0不一定是不同力学量同时具有确定值的条件。三、力学(lìxué)量的完全集合例如：自由粒子(自由度为3)的运动状态用（）描述；四、测不准关系(guānxì)（又叫不确定关系(guānxì)Uncertainty）(1927年)若两算符不对易，则一般它们(tāmen)没有共同的本征态，即不可能同时具有确定值。考虑这样(zhèyàng)一个积分：而根据代数(dàishù)二次式理论可知，要使不等式②若用于角动量之间，则有：例如和，若在某态中测量，完全确定，即，则，即完全不确定；总之，微观粒子的位置和动量不可能同时具有确定值。故此得出结论，即经典力学中应用的轨道概念对微观粒子是不适用的。事实上，测不准关系不是由测量过程决定(juédìng)的，这个关系的存在源于微粒的波动性。我们把经典力学中沿用的纯属粒子性的力学量，坐标和动量用于有波动性的微粒，不会完全适用。测不准关系揭示了用经典理论描述微观粒子的局限性。说明(shuōmíng)：例如阴极射线管中电子束，电子的速度是米/秒。③标志着微观规律性和宏观规律性之间的差异，若，即可略（与其有同量纲的量级比较），则坐标和动量以及角动量之间都对易，在其共同的本征态中同时具有确定值，量子力学过渡到经典力学。<1>解释“在势垒内部粒子动能为负值”的说法不成立（参阅§2.8粒子进入“经典禁区”，隧道(suìdào)效应）b.定量(dìngliàng)估算：<2>可解释和估算(ɡūsuàn)势阱中粒子的最小能量，线性谐振子的零点能，氢原子的基态能级。于是：即线性谐振子的零点能是测不准关系(guānxì)所要求的最小能量。内容(nèiróng)总结