本章主要介绍《数值计算》这门课程的研究对象、内容、数值计算基本思想及实现方法、误差分析基础和算法的若干重要概念,引导读者对计算数学及本课程有一个大致的直观认识和了解。§1数学问题与数值计算问题运用数学理论和方法解决实际问题的一般过程，包括几个阶段。第一阶段为建立模型。这个阶段可分成两步。先把一个实际问题归纳、抽象、提炼为一个恰当的数学问题，这是极为关键的一步。同一个实际问题，根据不同的研究角度和要求，可以抽象为不同的数学问题。第二步是将提出的数学问题用合适的数学模型来描述，数学问题的提法不同，可得出不同类型的模型。研究者的数学修养和能力在这一步常起到决定性作用。建立模型之后，便是分析与求解该模型。分析和求解问题常以对应的数学分支及其数学理论作为支撑，提供求解方法，由此求得的解称为理论解或解析解。我们以前学的各门数学课程，基本上属于分析和寻求理论解的内容。不幸的是，许多已有数学理论常常难以为求得解析解提供可接受的途径。实践表明，求解数学模型，特别是对从实际中提炼出的问题所得到的数学模型，采用数值计算方法是求解的现实之路。正是这个事实，成为激励和促进计算数学发展的主要动力。进行科学计算的第一步，需要把一个数学问题转化为一个相应的数值问题（或数值计算问题），数值问题是指输入数据（即问题实例所提供的原始数据）与输出数据（即该问题要求的计算结果）之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。数值方法是相对于数值计算问题而言的。有些数学问题本身就是一个数值计算问题；很多数学问题不是数值问题，但它往往可用数值问题来逼近。所以科学计算面对的是数值计算问题。例1．1解常微分方程，是一个数学问题，要求输出的解是连续函数。许多微分方程难以直接求出函数，如果改为规定输出在离散点x=h，2h，3h，….,nh处的函数近似值,这就把原问题转化为一个数值问题。我们在《高等数学》学过用的Euler折线法是一种比较简单但精度甚低的数值计算方法。本课程将系统地研究这类问题。又如，计算多项式在x=5的值，这本身是数学问题，但同时又一个数值问题，因为输入数据为数值，输出数据为的数值。按照建立数值问题的基本形式，数学问题基本上可归为两大类。一类包含非有理函数或未知函数，比如积分和微分计算，微分方程求解等，对它们的求解和计算一般需要转化为数值问题，转化的基本途径是利用函数逼近或离散化，常变为多项式或有理函数的表达形式，这是因为多项式或有理函数在计算机上容易作四则运算。另一类数学问题主要是代数问题，它们不含非有理函数，本身就是数值问题，不用再作转化。非线性方程求解也属于此类。作为数值计算的基础部分，本课程主要面向三大类计算任务。第一类计算任务是求值，指数字运算和对数学对象计算其数值，包括四则运算，乘方开方，多项式求值，一般函数的求值，代数运算求值，微积分运算求值等，这是最常见的计算。例如，求正数a的平方根，求计算多项式在某点的值，求函数关于某变量偏导数在某点的值，求积分的值，求复杂函数的增量比等。表面上看，这些计算都很常规，但是在实际计算并在计算机上实现时，会出现我们以前学习过的“纯粹”数学计算所没有关注的现象与问题。从下面2个例子可以看到即使是简单的求值也不那么“直接”与方便。例1．2设多项式，计算它在处的函数增量比。解：容易写出，似乎照着计算就可以了。分母，两点越靠近，的有效数字的损失就越多，计算误差就越大。所以，理论上无误的计算，实际上存在着算不准甚至无法算的问题，需要设计合理的计算方法来求解此类问题。例1．3计算积分有著名Newton—Leibniz公式，其中是的原函数。如果被积函数的原函数能够求出，那么定积分问题就化为原函数边界上函数值之差。但困难的是，大量被积函数的原函数不能够用初等函数表示，有些则难以求出，而且，实际问题中被积函数常用测量数据代替。所以，数值计算方法是计算复杂积分的基本途径。第二类计算任务是方程求解。方程求解是量大面广的数学问题。所谓方程是含有未知量的等式，方程求解或解方程是指运用数学方法得到未知量。根据被求解的未知量是数值还是函数，方程可分为数值方程和函数方程两大类。数值方程指不包含未知量的分析运算（微分，积分，变分等）的方程，常被称为非线性方程（组），它包括代数方程，超越方程，差分方程（组）等。由多项式等式构成的方程称为代数方程（组），其余的则统称为超越方程（组）。数值方程的解是一个常值（数，向量或矩阵等）。求解代数方程是早期代数学的中心课题。古希腊时已知道解一元一次和二次方程的方法；到欧洲文艺复兴时期，又得到了求一元三次和四次方程的求根公式，不过计算已比较麻烦。在以后两百多年中，数学家们苦苦寻求五次及五次以上代数方程的求根公式，却屡遭失败，直到1826年，挪威数学家Abel证明，高于五次的代数方程不存在有限根式的求根