因式分解得常用方法第一部分:方法介绍多项式得因式分解就是代数式恒等变形得基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,就是我们解决许多数学问题得有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅就是掌握因式分解内容所必需得,而且对于培养学生得解题技能,发展学生得思维能力,都有着十分独特得作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法与十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解得方法、技巧与应用作进一步得介绍.一、提公因式法、:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法、在整式得乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用得公式,例如:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b);(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2;(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用得公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例、已知就是得三边,且,则得形状就是()A、直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解:三、分组分解法、(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体”瞧,这个多项式得各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”瞧,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间得联系。解:原式==每组之间还有公因式！=例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组;解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解:原式=原式=====练习:分解因式1、2、(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解:原式===例4、分解因式:解:原式===练习:分解因式3、4、综合练习:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)四、十字相乘法、(一)二次项系数为1得二次三项式直接利用公式——进行分解。特点:(1)二次项系数就是1;(2)常数项就是两个数得乘积;(3)一次项系数就是常数项得两因数得与。思考:十字相乘有什么基本规律？例、已知0＜≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件得、解析:凡就是能十字相乘得二次三项式ax2+bx+c,都要求>0而且就是一个完全平方数。于就是为完全平方数,例5、分解因式:分析:将6分成两个数相乘,且这两个数得与要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3得分解适合,即2+3=5。12解:=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解得关键:将常数项分解成两个因数得积,且这两个因数得代数与要等于一次项得系数。例6、分解因式:解:原式=1-1=1-6(-1)+(-6)=-7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)(二)二次项系数不为1得二次三项式——条件:(1)(2)(3)分解结果:=例7、分解因式:分析:1-23-5(-6)+(-5)=-11解:=练习7、分解因式:(1)(2)(3)(4)(三)二次项系数为1得齐次多项式例8、分解因式:分析:将瞧成常数,把原多项式瞧成关于得二次三项式,利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解:==练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1得齐次多项式例9、例10、1-2y把瞧作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解:原式=解:原式=练习9、分解因式:(1)(2)综合练习10、(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)思考:分解因式:五、换元法。例13、分解因式(1)(2)解:(1)设2005=,则原式===(2)型如得多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设,则∴原式====练习13、分解因式(1)(2)(3)例14、分解因式(1)观察:此多项式得特点——就是关