2014—2015学年度第一学期期末抽测高二数学（理）试题参考答案一、填空题：1．2．，3．4．5．6．7．38．19．110．11．12．或13．14．二、解答题:16．⑴因为，，，所以，，所以，又，所以是等腰直角三角形，………………3分⑵由⑴可知，的圆心是的中点，所以，半径为，所以的方程为．………………………………………………6分⑶因为圆的半径为，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为．……………………………………………………8分①当直线与轴垂直时，方程为，与圆心的距离为，满足条件；10分②当直线的斜率存在时，设：，ACA1(第17题图)BDEB1C1D1xyzM因为圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为．综上可知，直线的方程为或．…………………………………14分17．以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，．…………………………………………2分⑴当点为中点时，，，，，，所以，所以异面直线与所成角余弦为．…………8分⑵取中点，由题意知，，所以是二面角的平面角，因为，，，，10分所以，两边平方整理得，所以．因为在棱上，，所以，所以的长为．…14分19．⑴由得所以椭圆的方程为．…………………2分⑵①因为，，，所以的方程为，代入，，即，因为，所以，则，所以点的坐标为．……………6分同理可得点的坐标为．…………………………………………………………8分20．⑴时，，，令，得，解得．所以函数的单调增区间为．…………………………………………………2分⑵由题意对恒成立，因为时，，所以对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，所以，因此．……………………………………………………6分⑶因为，由，得或（舍）．可证对任意恒成立，所以，因为，所以，由于等号不能同时成立，所以，于是．当时，，在上是单调减函数；当时，，在上是单调增函数．所以，………………………………8分记，，以下证明当时，．，记，对恒成立，所以在上单调减函数，，，所以，使，当时，，在上是单调增函数；当时，，在上是单调减函数．又，所以对恒成立，即对恒成立，所以．………………16分