二次函数中的旋转平移对称变换二次函数中的旋转平移对称变换二次函数中的旋转平移对称变换二次函数中的旋转、平移、对称变换1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。（1)求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标。解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0）,B(0，2），∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2—3x+2；(2）∵A（1，0）,B（0，2)，∴OA=1,OB=2，可得旋转后C点的坐标为(3,1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2—3x+2过点（3,2），∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，∴平移后的抛物线解析式为:y=x2—3x+1;（3)∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为(x0，x02—3x0+1),将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为，时,如图①,此时∴点N的坐标为（1，-1）；②当时，如图②，同理可得此时∴点N的坐标为（3,1），综上，点N的坐标为（1,—1）或（3,1）。2、在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为(m，1)（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．(1）写出点A、A′、C′的坐标；(2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3)试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），∴A(m，0）,C（0，1），∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，∴A′（0,m)，C′（-1，0）；（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵A（m，0），A′(0,m），C′(—1，0），∴，解得,∴此抛物线的解析式为：y=—x2+（m-1）x+m；（3）存在．∵点B与点D关于原点对称,B(m,1），∴点D的坐标为：（-m，-1），∵抛物线的解析式为：y=—x2+（m—1）x+m;假设点D（-m,—1）在（2）中的抛物线上，则y=-（-m）2+（m-1）×(-m）+m=—1,即—2m2+2m+1=0,∵△=22—4×(—2)×1=12＞0，∴此点在抛物线上，解得m=或m=(舍去)．3、在平面直角坐标系中,O为原点,点A（—2，0），点B（0,2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，记旋转角为α.（Ⅰ）如图①，当α＝90°，求AE'，BF’的长；（Ⅱ）如图②,当α＝135°，求证AE'＝BF'，且AE’⊥BF';（Ⅲ）若直线AE’与直线BF’相交于点P，求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可）.4、如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式;(2）若PE=5EF，求m的值;（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E′落在y轴上？若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得:，解得，∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5．(2）∵点P的横坐标为m，∴P(m，﹣m2+4m+5）,E（m,﹣m+3）,F（m,0）．∴PE=|yP﹣yE|=｜（﹣m2+4m+5)﹣（﹣m+3）｜=|﹣m2+m+2｜,EF=｜yE﹣yF|=|(﹣m+3)﹣0｜=｜﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：｜﹣m2+m+2｜=5|﹣m+3｜=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=;②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得:m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称,∴∠1=∠2,CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴PE=CE，∴PE=CE