太阳影子定位摘要本题意在通过分析实际测量的竖直杆影子随时间变化的坐标或视频数据，确认竖直杆所在的经纬度以及数据对应的记录日期。第一问要求分析画出已知杆长、地理位置和日期的竖直杆的太阳影子变化曲线，并分析影子长度关于各个参数的变化规律。本文利用天文学公式，建立了该竖直杆太阳影子关于时间变化的计算求解模型，得出影长随时间的变化曲线如下。此后，本文使用控制变量法，分别对经纬度、日期、杆长及当日时间这五个参数对影子长度的影响展开讨论。经过误差分析并改进算法后，得到在11点59分24秒，取到最短的影长为3.6638米第二问要求分析某竖直杆的太阳影子顶点坐标数据，确定其地点。本文沿用第一问的天文学公式，以每一对时刻理论与实测的影长之比的差的平方和最小为首要目标，以每一对时刻理论与实测方位角差值之差的平方和最小为次要目标，建立多目标规划模型，采用分层求解法，遍历求解得到最能满足条件的位置为北纬19度，东经109度，位于我国海南省。第三问要求分析两组某竖直杆的太阳影子坐标数据，确定其地点及数据记录日期。与第二问类似，在添加日期这一变量后，建立与第二问相同的多目标规划模型，采用分层求解法遍历求解。得到附件二和附件三数据对应的最能满足条件的位置分别为：纬度经度日期大致地点附件二40795月25日新疆图木舒克市附件三3310610月31日陕西，汉中广元之间第四问要求分析竖直杆的影子变化视频，分别在日期已知和未知的情况下求出其所在地点与拍摄日期。本文首先利用动态追踪技术，找出影子顶点在每一时刻的像素坐标，计算出每时刻的太阳高度角。进而利用天文学公式中太阳高度角与日期、纬度、经度的确定关系，分别在日期已知和未知的情况下建立计算求解模型，考虑到模型存在系统误差，难以得到完美解，故将问题转换为非线性规划问题遍历求解。得到最能满足条件的位置与日期为：纬度经度日期大致地点日期确定431157月13日内蒙古锡林郭勒盟西南日期未定441136月25日内蒙古锡林郭勒盟西本文亦对文中使用的天文学公式的误差及所求出的结果进行了讨论，在给出最优解之外还讨论了其他解存在的可能性。关键词：计算求解模型、控制变量法、多目标规划、分层求解法、误差分析11.问题重述1.1问题背景现代科技的发展使得人们能够更为方便地记录高质量的视频文件。在分析视频材料时，有时需要确定视频的拍摄地点及日期，而利用天文学知识，对视频物体中的太阳影子变化进行分析是确定视频拍摄地点及日期的一种方法。1.2相关信息本题给出了三组某处某固定直杆在水平地面上太阳影子的顶点坐标数据，每组数据皆包含21个等间距时刻（北京时间）直杆太阳影子的xy,顶点坐标。其中，第一组数据还额外包括了数据对应的日期。坐标系以直杆底端为原点，水平地面为平面，直杆垂直于地面。除三组数据以外，本题亦给出了一根直杆在太阳下的影子变化视频，视频中清晰的记录了2015年7月13日8点54分06秒到同日9点34分36秒某地高为2米的直杆的太阳影子变化过程。以上信息中，各直杆的地理位置皆未知。1.3需要解决的问题1)建立太阳影子变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律并应用这一模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度变化曲线。2)建立数学模型，根据题目提供的附件一中的影子顶点坐标数据，给出该直杆所在的可能地点。3)建立数学模型，根据题目提供的附件二、三种影子顶点坐标数据，给出对应直杆所在的可能的地点。4)分析题目提供的视频，确定视频拍摄地点的数学模型，分别讨论在拍摄日期已知和未知两种情况下，能否确定视频的拍摄地点与日期，并给出该视频可能的拍摄地点。2.模型假设假设一：本文研究的所有对象所在的地面皆为平地。假设二：本文研究的所有对象所处地海拔为0。23.符号说明符号符号说明i时刻i的太阳高度角太阳赤纬d代表天数，当日期为1月1日时，d=1目标对象所在地的纬度。为正数时代表北纬，负数为南纬l目标对象所在位置经度。为正数时代表东经，负数为西经ti时刻下研究对象对应时角L直杆长度Lyi直杆在时刻i时的影长'Lyi直杆在时刻i的理论影长i直杆影子在时刻i被测得的方位角'i直杆影子在时刻的理论方位角值f1每一对理论的影长之比的差的平方和f2方位角差值之差的平方和tls本地太阳时间tlt本地时ti0i时刻时子午线当地标准时间E时差4.问题分析问题（一）第一问要求建立影子长度