第四章语音信号的短时时域分析4.1概述若令，则得离散的短时傅里叶变换如下:(4.2)它实际上就是的频率的取样。可以看出：（1）当n固定时，它们就是序列(-∞≤m≤+∞)的傅里叶变换或离散傅里叶变换。（2）当或k固定时，它们是一个卷积，这相当于滤波器的运算。因此，语音信号的短时频域分析可以解释为傅里叶变换或滤波器。下面分别讨论这两种情况。4.2傅里叶变换的解释此外，由功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变换的关系：(4.6)功率谱是自相关函数(4.7)的傅里叶变换。窗函数的作用如果被看成是w(n-m)x(m)序列的标准傅里叶变换，同时假设x(m)及w(m)的标准傅里叶变换存在，为：(4.8)(4.9)当n固定时，序列w(n-m)的傅里叶变换为：(4.10)根据卷积定理，有：(4.11)写成卷积积分形式：(4.12)将θ改换为-θ后，可以写成：(4.13)窗函数和窗宽对短时傅里叶谱的影响：由于矩形窗有较高的旁瓣，在语音频谱分析中，很少采用。实验表明，窗的主瓣宽度与窗宽度N成反比，选择窗宽时应根据应用需要，折衷考虑，要得到好的时间分辨率要求用窄窗，而要得到好的频率分辨率要求用宽窗。4.3滤波器的解释（ω给定）用实数来运算的方法：(4.15)结论：经调制后，其付里叶变换为，这说明调制使的频谱在频率轴上向左移动了，线性滤波器输出端的频谱等于乘积，故为了使输出频谱准确等于，应当是一个冲激。即要求线性滤波器近似为一个窄带低通滤波器。2．短时傅里叶变换的滤波器实现形式二令：(4.16)令(4.17)则有(4.18)可以画出短时傅里叶变换的滤波器解释的另一种形式如图（4.3）所示，也分为复数运算和实数运算两种。同样要求线性滤波器近似为一个中心频率为ω的窄带带通滤波器。4.4短时谱的时域及频域取样率1.时域取样率（ω为固定值）若使用哈明窗，的近似带宽为(4.20)2、频率取样率(n为固定值)此时,是以2π为周期的ω的连续函数，用下述一组频率值来取样：(4.21)设w(n)为有限时宽N，的短时付里叶反变换x(m)w(n-m)也应当是宽度为N有限时宽的。现在在频域内L个角频率上对进行取样，根据这些取样所恢复出的时间信号应该是x(m)w(n-m)进行周期延拓的结果，延拓周期等于L。为使恢复的时域信号不产生混叠，要求，故频域最小取样数为窗宽SRf=N。3、总取样率的总抽样率（SR）等于(4.22)在大多数实际窗中，B可以表示为FS/N的倍数(4.23)其中，C是比例常数，x(n)的抽样频率即为(4.24)SR/FS即为与一般取样频率相比而得到的“过速率采样比”。欠速率采样：x(n)的短时谱所要求的取样率比起一般波形表示来说，要增加到2~4倍。但有时在时域或频域用低于理论上最小值的取样率，而x(n)仍能从混叠的短时变换中准确地恢复。欠速率采样在短时谱估计，基音及共振峰分析，数字语谱图以及声码器中得到应用。4.5短时综合的滤波器组相加法式（4.28）的图形解释定义(4.29)可得(4.30)可见，是一个冲激响应为的带通滤波器的输出。复数带通滤波器的频率响应为上式用图4.7(b)表示，中心频率为，带宽为，假定所有通道都使用了相同的窗函数，即考虑整个带通滤波器组时，其中每个带通滤波器具有相同的输入，其输出相加在一起，如图4.8所示，输出为y(n)，输入为x(n)，整个系统的复合频率响应为(4.33)如果在频率域上正确抽样(N≥L，L为窗宽)，可以证明对于所有ω都满足(4.34)上式证明如下:的傅里叶反变换是窗函数，如果在频率上以N个均匀间隔抽样，抽样形式的离散傅里叶反变换为(4.35)如果w(n)的宽度等于L个抽样，则w(n)=0,n＜0,n≥L(4.36)在式(4.35)中取n=0，得到(4.37)这时的复合输出为(4.39)于是，用滤波器组相加法恢复的信号可以表示为：(4.40)上面已讨论到，当w(n)具有有限宽度L时，x(n)完全能从时间及频率域抽样后的时变傅里叶变换准确地恢复。下面还能证明，如果在频域内是频带受限的，则x(n)也能准确从中恢复。前面已指出，在有限宽度窗的情况下，为避免时间混叠，必须至少在L个均匀分布的频率上取值，其中L为窗的宽度。宽度为L的窗的带宽一般在矩形窗）至哈明窗）之间，而分析频率为，这时所得的带通滤波器在频率上叠接。4.5.2短时综合的滤波器组相加法的MATLAB程序实现程序filterbank2.m对应于图4.6中的(a)图，先滤波后调制，实现流程图见图4.12，程序运行结果见图4.13。