一、（10分）设为空间上的距离。证明也是上的距离。求证为空间。（其中为空间，为空间）S是由一切序列组成的集合，在S中定义距离为，求证S是一个完备的距离空间。Hilbert空间中的正交投影算子为线性有界算子。附加题开映射定理()设都是空间，若是一个满射，则是开映射。Hahn—Banach延拓定理()设是空间，是的线性子空间，是定义在上的有界线性泛函，则在上必有有界线性泛函满足：其中表示在上的范数。闭图像定理()设都是空间，若是的闭线性算子，并且是闭的，则是连续的。共鸣定理()设是空间，是空间，如果，那么存在常数，使得。五、（10分）在上定义内积：（1）如果求；（2）证明任一函数都正交于。六、（10分）设为Hilbert空间的闭子空间，证明对每个必存在唯一的有七、（15分）设，求证：。八、（15分）简答题1.试说明与中函数的差异；2.泛函分析也称无穷维分析，为什么要研究无穷维分析，试举例说明；3.Hilbert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。在上定义内积,若记为中奇函数全体，为中偶函数全体，求证：且。设为内积空间中的一个稠密子集，且，证明。在中赋予距离问是完备空间吗？为什么？设若是从的算子，计算若是从的算子再求。四论述题：证明完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。证明为上范数，并论述证明范数的一般步骤。设是内积空间，，则当时，，即内积关于两变元连续。7.证明：设是Hilbert空间中的一个标准正交集,令,如果P是H到M上的正交投影算子,则,有。3.设是Hilbert空间的闭线性子空间，，且是满足的唯一元素，那么，。4.设X是内积空间,是X中的标准正交系,则对任意的,成立Bessel不等式:.7.证明：设是Hilbert空间中的一个标准正交集,令,如果P是H到M上的正交投影算子,则,有。