2023届河北省高三年级开学考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B2.复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A3.已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（）A.2B.3C.4D.不存在【答案】B4.2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（）米/秒A.10.1B.C.14.8D.【答案】D5.如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（）A.4B.C.D.【答案】C6.过抛物线C：焦点F且斜率为的直线与C交于A、B两点（点A在x轴上方），已知点，则（）A.B.4C.D.9【答案】D7.如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B8.定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（）A.，使，.B.，使，.C.，使，.D.，使，.【答案】D二、选择题9.已知平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（）A.6B.C.D.【答案】AC10.随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）A.A发生的概率为0.6B.B发生且A不发生的概率为0.2C.A或B发生的概率为0.9D.A与B同时发生的概率0.2【答案】BD11.函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（）A.在区间单调递增.B.在区间有六个零点.C.直线是曲线的对称轴.D.图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.【答案】BC12.已知函数，则下列选项正确的是（）A.上递增；在上递减.B.时，有两个根.C.当时，过能做两条切线.D.方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是.【答案】ABCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.展开式中的项的系数是______.【答案】3014.数列1，2，－3，－4，5，6，－7，－8……的通项公式______（写一个符合条件的即可）.【答案】（答案不唯一）15.中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据《格古要论》载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为______.【答案】16.已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.【答案】##四、解答题17.在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，面积为S，且.（1）求角A的大小.（2）当a取最小值时，求的周长和面积.【答案】（1）（2）周长为，面积为18.数列的前n项积.数列的前n项和.（1）求数列、的通项公式.（2）求数列的前n项和.【答案】（1），，（2）前n项和为，19.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.（1）求证：平面.（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面，进而可得平面ABCD⊥平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.【小问1详解】取中点为，连接,在中，∵为的中点，为中点，∴,在正方形中，∵为的中点，∴,∴，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面；【小问2详解】在正三角形中，为的中点，∴，又∵，平面，平面，∴AM⊥平面，平面PCD，∴AM⊥DC，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝2，则，，，，，，，，，设平面MDN的法向量为，，令，则，设平面PDC的法向量为，，令，则，∴，∴平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.