相似三角形－-----射影定理得推广及应用射影定理就就是平面几何中一个很重要得性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍得效果。一般地,若将定理中得直角三角形条件非直角化,亦可得到类似得结论,而此结论又可作为证明其它命题得预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上得高就就是它分斜边所得两条线段得比例中项;且每条直角边都就就是它在斜边上得射影与斜边得比例中项。如图(1):Rt△ＡＢC中,若ＣＤ为高,则有CD2=ＢD•AＤ、ＢＣ2=BD•AＢ或ＡC２＝ＡD•AＢ。二、变式推广１、逆用如图（１)：若△AＢＣ中,ＣD为高,且有DC2=ＢD•ＡＤ或AＣ２=ＡD•ＡB或BＣ2＝BＤ•AB,则有∠ＤＣＢ=∠Ａ或∠ACD＝∠Ｂ,均可等到△AＢＣ为直角三角形。２、一般化,若△ＡBＣ不为直角三角形,当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2))如图(２):△ABC中，D为AB上一点,若∠ＣDB=∠AＣB,或∠DCB＝∠A,则有△CDB∽△AＣB,可得ＢC２＝BＤ•ＡB;反之,若△ＡＢC中,D为ＡＢ上一点,且有ＢＣ2＝ＢD•ＡB，则有△ＣDB∽△ACB,可得到∠ＣＤＢ=∠ＡCB,或∠DCB＝∠Ａ。三、应用例1如图(３)，已知：等腰三角形ABＣ中，AB=ＡＣ,高ＡＤ、BＥ交于点H,求证:４DＨ•DＡ＝ＢC2分析:易证∠BＡD=∠ＣAD=9０0-∠C=∠HBＤ,联想到射影定理变式(2),可得BD２＝DＨ•DA,又BＣ=２BD,故有结论成立。(证明略)例２如图（４)：已知⊙O中,D为弧AＣ中点，过点D得弦BＤ被弦AC分为4与12两部分，求DC。分析:易得到∠DBC＝∠ＡBＤ=∠DＣＥ,满足射影定理变式(2)得条件,故有CD２=DE•DＢ,易求得ＤＣ＝８(解略)例3已知:如图(5),△ABＣ中,AD平分∠BAＣ，ＡD得垂直平分线交AB于点Ｅ,交AD于点Ｈ，交ＡC于点G,交ＢC得延长线于点Ｆ,求证：ＤＦ2＝ＣＦ•ＢF。证明:连AF,∵ＦH垂直平分AD,∴FＡ=ＦＤ,∠FAＤ＝∠FＤA,∵AD平分∠ＢＡC,∴∠CAD=∠ＢAD，∴∠FAＤ－∠CAＤ=∠FＤＡ－∠BAD，∵∠Ｂ=∠FDＡ-∠BＡＤ,∴∠ＦＡC=∠B,又∠ＡＦＣ公共,∴△AＦC∽△ＢFＡ,∴＝,∴AＦ2=CＦ•ＢＦ,∴ＤＦ２＝ＣＦ•BＦ。射影定理练习【选择题】１、已知直角三角形中，斜边AＢ＝５cm，BＣ=２ｃm,D为AC上得一点,交AB于E,且AＤ=3、２cm,则ＤＥ=()A、1、24cmB、1、26cｍC、1、28ｃmD、1、3cｍ2、如图1－1，在Rt中，CD就就是斜别AB上得高,在图中六条线段中,您认为只要知道()线段得长,就可以求其她线段得长Ａ、1B、2C、３D、43、在Rt中,，于点D,若,则（)A、B、C、Ｄ、【填空题】5、中，,于点D,AD=6，BD=１2,则ＣＤ=,AC=,=。６、如图２－1,在Ｒt中,,,ＡＣ＝６,AD=3、6,则BC＝、【解答题】7、已知CD就就是得高,,如图3－1,求证：8、已知,，,就就是正三角形,求证：10、如图,在Rt△ABC中，CD就就是斜边AＢ上得高，点M在CD上,DH⊥BM且与AC得延长线交于点Ｅ、求证:ﻫ(1)△AED∽△ＣBM;ﻫ（２）AＥ•CM=AC•CD、1１、已知：如图,等腰△AＢＣ中,AＢ=ＡC,ＡＤ⊥BＣ于D，过点B做射线BG，交AＤ、AC于E、F两点，与过点C平行于AB得直线交于点G。求证：(１)BE2=ＥF•EG(2)若过点B得射线交AD\AC得射线AD、ＡＣ得延长线分别于E、F两点，与过C平行于ＡＢ得直线交于点G,则(）得结论就就是否成立,若成立,请说明理由。