第3章曲线曲面的表示本章学习三次样条曲线、Bezier曲线及B-样条曲线等的数学表示及其性质，讨论如何生成、控制这些曲线。最后简要讨论曲面的表示。3.0曲线曲面及其表示分类：规则曲线/曲面：可用解析方程表示的自由曲线/曲面：由给定的离散点通过拟合或插值得到的。表示：非参数方程表示显式隐式参数方程表示3.1样条曲线三次样条函数的力学背景工程中，如飞机、船舶工业在几何外形的数学放样时，经常会遇到这样的问题：在平面上给定一组离散的有序点列，要画一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。设计员在进行这项工作时，通常使用一根称为“样条”的富有弹性的木条或有机玻璃条。在每一型值点处用“压铁”压住，使样条依次经过这些型值点，然后沿着样条面出一根光滑的曲线。如果把样条看成弹性细粱，压铁看成是作用在梁上的集中载荷，那么用上述方法得到的曲线在力学上可以模拟为求弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。在“小挠度”的情况下，变形曲线的数学表示为分段三次多项式，它是二阶连续的三次光滑曲线。3三次样条函数的数学定义设在区间[a,b]上给定一个分割Δ：a=x0<x1<…<xn=b[a,b]上的—个函数S(x)如果满足下列条件：①在每一个子区间[xi-1,xi](0≤i≤n)内，S(x)是三次多项式。②在整个区间[a,b]，S(x)二阶连续可导。则称S(x)为三次样条函数，xi(0≤i≤n)为S(x)的节点（或型值点）。当给定一组有序数列yi(0≤i≤n)，如果S(xi)=yi，那么称S(x)为插值三次样条函数。以此类推，可得到任意次数样条函数酌定义。显然，一次样条函数是以型值点为顶点的弦线组成的折线，其光滑性差，一般很少使用。二次样条函数是由分段抛物线组成，可适用于对光滑要求不高的应用。三次以上的样条，由于光顺性差和计算复杂等原因，也很少使用。而三次样条函数计算简便、稳定，具有收敛性，并且线性光顺，因此在工程中得到了广泛的应用。3参数样条S(x)样条函数依赖于坐标系的选择，缺乏几何不变性，而且在大扰度情况下，三次样条光顺性变坏，可计算性差。为了解决这些问题，可用参数多项式表示样条曲线而加以解决。一段参三次样条曲线方程形式如下：（ui-1≤u≤ui）（式3-1a）或（式3-1b）设，，，，，式(3-1b)可简记为（式3-1c）关于u的一阶导数（式3-2）关于u的二阶导数（式3-3）参数表示法比非参数表示法有很多优点，如：(1)由于参数曲线上的一个点是由参数的一个单值确定的，所以曲线的参数形式与坐标轴无关，也即曲线的形状仅取决于一些点的相对位置，而与这些点所用的坐标系无关。这些控制曲线形状的点称为控制点。这一性质称为几何不变性。(2)一般情况下，要变换一条与坐标轴有关的曲线，必须变换曲线上每一点的坐标。而对于与坐标轴无关的曲线，仅需将确定曲线形状的那些控制点进行变换即可，大大地简化了变换运算，方便了实现前一章所讨论的各种几何变换。(3)曲线上点、导数等的计算简单，无需解方程组。能处理斜率为无穷大的情形。(4)参数形式比非参数形式提供更多控制曲线的自由度。非参数形式的平面三次曲线有4个系数，而参数形式的则有8个系数。(5)便于曲线的分段描述。(6)参数方程可以表示任意维空间中的曲线，且能把二维曲线方程容易拓广至三维、四维或更高维空间。3.2插值型样条函数CubicSplineInterpolationFunction工程中，一般用一定数量的离散点来描述曲线和曲面。这些点可以是从某个形状上测量得到的，也可以是设计员给出的。要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，这称为对这些数据点进行插值(interpolation)，所构造的曲线称为插值曲线。但在某些情况下，测量所得的或设计人员给出的数据点本身就很租糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。在这种情况下，更合理的方法是构造一条曲线使之“最为靠近”给定的数据点。这方法称为对这些数据点进行逼近(approximation)，所构造的曲线称为逼近曲线。逼近和插值往往是交织在一起的。我们统一用拟合(fitting)来指这两种情况。曲线拟合是生成列表曲线的最基本的方法。本节先介绍插值型参数三次曲线。3Hermite方程假设给定两个端点的位置矢量P0和P1，以及端点处的切矢、，要作一段经过端点而且在端点处具有给定切矢的三次参数曲线段。这种插值型的参三次样条函数称为Hermite函数。利用端点条件：可求得（式3-1）中的系数，整理后得Hermite参数方程（0≤u≤1）（式3-2）3.相邻二段Hermite曲线光滑衔接条件假设二段Hermite曲线P(u)（0≤u≤1）和Q(v)（0≤v≤1）的端点分别为P0