含凹凸函数的半线性微分方程解的确切个数的任务书任务：研究形如$$-u''+(f(x))^2u=g(x)$$的半线性微分方程中，含凹凸函数$f(x)$时，解的确切个数及一些性质。思路：1.首先，我们需要了解凹凸函数的定义及性质，并学习相关定理，如凸函数的Jensen不等式。2.接着，我们需要掌握半线性微分方程的求解方法，尤其是常数变易法和离散化方法。3.然后，我们需要研究该半线性微分方程的特征值问题，以及其解的存在唯一性问题。特别地，我们需要关注当$f(x)$为凸函数时的特殊情形。4.接下来，我们需要探究该方程解的性质，如正负性、奇偶性、单调性等，并研究解的渐近行为。这些性质将为我们之后的研究提供重要线索。5.最后，我们将综合前面的研究成果，给出含凹凸函数的半线性微分方程解的确切个数及其一些性质的结论，并对该结论进行讨论和验证。参考文献：[1]A.D.Polyanin,V.F.Zaitsev,andA.Moussiaux.HandbookofNonlinearPartialDifferentialEquations.CRCPress,2004.[2]L.Nirenberg.TopicsinNonlinearFunctionalAnalysis.Amer.Math.Soc.,2001.[3]Q.WangandL.Zou.Fullynonlinearellipticequationsinvolvingconcaveandconvexnonlinearities.NonlinearAnal.75(2012),1121-1137.