数学之史（本大题30分，第1题10分，第2题20分）1、纪念欧拉：欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一。在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代。直到今天，我们在数学及其应用的重多分支中，常常可以看到欧拉的名字。（1）2007年是伟大的数学家欧拉（Euler）诞辰300周年。欧拉是历史上最多产的数学家，一生发表过800多篇（本）论文、著作，他28岁时解决了著名的哥尼斯堡七桥问题，其主要思路是将原问题转化为一笔画问题，图1中的两图，能用一笔画出来（每条边不重复、不遗漏，本题仅有一个正确答案）。ABCDDABC（a）（b）图1（2）著名的欧拉函数，欧拉把小于或等于正整数n的正整数中与n互质的数的数目记作。以n=6为例，是指小于或等于6的正整数中与6互质的数的数目。由于1,2,3,4,5,6中有1,5两个数和6互质，所以=2。求n=8和n=12时的欧拉函数值=，=。2、古代数学请用小学技巧性算术方法求解以下经典名题（不能用方程，数列等代数方法），过程要详细、清楚、通俗、易懂。（1）著名的“鸡兔同笼问题”出自《孙子算经》。鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？（2）《张丘建算经》成书于公元5世纪，是中国史上著名的数学典籍之一，比《孙子算经》稍晚。该书共三卷92题，包括测量、纺织、交换、纳税、土木工程、利息等各方面的计算问题。其中有一道关于“织布”的问题:织布问题：今有女不善织，日减功，迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织毕，问织几何？数学之美(本大题25分，第3、4、5题每题5分，第6题10分)3、雪花曲线在正三角形每条边的中央分别向外作正三角形，边长是原来三角形边长的三分之一，就得到了一个正六角星。依照此法无限制地进行下去，这就是瑞典数学家科郝将雪花理想化得到的科郝雪花曲线。我们不妨把每一次作图过程叫做“生长”，如下图所示。如果原三角形边长为1，则雪花曲线的周长是，它所围成的面积是（有限/无限）的。你是从方面来欣赏“雪花曲线”的美丽。4、对称之美如右图所示，4x4方格中至少要再将个空白的正方形方格涂黑，才能使得着色的图形为轴对称图形。并请画出涂黑的方格。5、美在简洁简洁美是数学美的重要特征之一。例如，学习有理数的运算以后，有理数的减法运算可以转化成加法运算，且可用字母写成a－b＝，体现了数学的简洁美。6、花坛设计一花坛，使它的面积为矩形场地的一半。要求美观。数学之用(本大题20分，第7、8题每题5分，第9题10分)7、直指焦点中央一台的《焦点访谈》是时事、政治性较强的一档电视节目，在晚间约7点38分，时针与分针重合时播出。用时针与分针的重合来比喻时事、政治的焦点。那么，《焦点访谈》播出的精确时间是19时分。8、缩放有矩某种零件图纸上标有数据Ø（单位mm），其中Ø表示圆形工件的直径，则所加工的合格零件的最大直径为mm，最小直径为mm。9、公说公有理，婆说婆有理。香港某厂，业绩为年份2006年2007年2008年股东红利50万75万100万工资总额100万125万150万老板说：他们的红利收益与职工的工资收入都在增长，而且增长速度是一样的。职工说：他们的工资收入比老板的红利收益的增长速度慢得多。请你用数学语言或图表对老板和职工的意见给予合理解释。数学之思(本大题25分，第10、11题每题5分，第12题15分)1112请以“四面八方”为题写一篇数学文化短文（字数、体裁不限）。数学之师(本大题20分)13圆的面积计算公式的推导的片段1．确定“转化”的策略。预设：（出示画有长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的图）2．尝试“转化”。师：好的，如果我们再切，（演示）32等分的圆，这个更近似了。大家好好想一想，如果这样无限地切分下去，就慢慢地转化成了长方形是吧？师：（学生可能有点疑惑）同学们看，这是老师把圆分成的64等份、128等份的圆，它们是不是更近似长方形？图(略)3、学生合作探究，推导公式。讨论探究，出示提示语。……………演示公式推导过程；揭示字母公式S=πr2你认为这一片段教学的“情感目标”是什么？如何实施？你认为公式S=πr2是近似的，还是精确的？请说明理由！