摘要在已知解析函数的实部或虚部的条件下求解析函数,并将其表示为来求解析函数的方法,再以例题说明具体的应用.关键词解析函数;调和函数;柯西—黎曼方程SomeMethodsOfAnalyticFunctionsAbstractKnownintheanalyticfunctionsrealpartorimaginarypartconditionsforanalyticfunctions,andwillitsaystheforms,thecomplexfunctionsisaveryimportantquestion.So,chooseappropriatemethodforanalyticalfunctionisveryimportant.Inthispaper,somewiththenecessarytheoremandreasoningforthemethodofanalyticfunctions,againwithexamplesexplainspecificapplication.KeywordsAnalyticFunctions;HarmonicFunction;Cauchy-RiemannEquation一引言从解析函数及调和函数理论我们知道这两类函数有着非常密切的联系:函数在单连通区域内解析的充要条件是及为内的共轭调和函数,已知或中的一个,就可以确定函数,不过可能相差一个实数或纯虚数.这就提出了一个问题:已知调和函数或,如何求其共轭调和函数使解析？这不仅是复变函数理论中的重要问题,同时在物理中的流体力学、空气动力学、电学等领域有重要应实际应用中,有时要对一对共轭调和函数进行计算与研究.本文就对已知调和函数或,如何求其共轭调和函数使解析方法进行总结与探求.二预备知识1.解析函数的定义及柯西—黎曼方程的推出定义1如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域在某一点的某一领域内解析,我们也说在某点解析.若在一点可微,而且设（1.1）又设其中（1.1）变为（1.2）因为无论按什么方式趋于零时,（1.2）即变点沿平行于实轴的方向趋于点,此时（1.2）成为于是知必然存在,且有.（1.3）同样,设即变点沿平行于虚轴的方向趋于点,此时（1.2）成为故知亦必存在,且有.（1.4）比较（1.3）及（1.4）得出.这是关于及的偏微分方程组,称为柯西—黎曼方程.由此我们可以得出:结论1若在区域中解析,则必满足柯西—黎曼方程,即.结论2若在区域中解析,则.推论1若函数在区域中解析,则有.所以有推论1的证明:证由于令则有加到(1)式,有.由结论2及,得.同理用(4)式减去×(2)式,有.由结论2及,得由(5),(6)式可得经过代换可得.□我们称式为以极坐标为参数的柯西—黎曼方程.2.Laplace方程及调和函数设在内解析,则由柯西—黎曼方程,得因在内连续,他们必定相等,故在内有同理,在内有即和在内满足Laplace方程:这里是一种运算记号,称为Laplace算子.下面我们给出以极坐标为参数的Laplace方程:设在区域内解析,则由得.由解析函数的无穷可微性知和在内连续,它们必相等,所以有.同理可得.我们称,为极坐标形式的Laplace方程.定义2若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数,且满足Laplace方程,则称为区域内的调和函数.形式地,我们有:定义3若二元极坐标函数在区域内有二阶连续偏导数,且满足,则称为区域内的调和函数.引理1[1](解析函数唯一性定理)设函数及在区域内解析,设是内彼此不同的点,并且点列在,那么在内,.三求解析函数方法介绍1.不定积分法由于解析函数,的导数还是解析函数,并且,或.当已知单连通区域内的调和函数或时,可将表示成的函数,此时有,.我们令,则得.其中或或或.例1试求以调和函数为实部的解析函数,并且满足.解由,得,由柯西—黎曼方程,得.所以.因此,将带入,得.故所求函数为.例2证明为调和函数,并求以它为实部的解析函数.证令则有,由于,,,所以,故为调和函数,也即为调和函数.由于,,所以.故.例3验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数.解令则有,由于,故,所以为调和函数.又由得.所以.例4试求以为虚部的解析函数,并满足.解令得,可以验证其为调和函数.由.及,得故.因此所求函数为.将带入,得.2.线积分法在两个二元实函数和的表达式中,令,就可以得两个相应的复变量函数.定理1已知函数在区域内调和,包含原点,在内解析,则其中.证设由于在内解