大学线性代数最全知识点第一章行列式一、二元线性方程组与二阶行列式方程组得解为由四个数排成二行二列(横为行、竖为列)得数表主对角线则二元线性方程组得解为大家有疑问的，可以询问和交流例1二、三阶行列式(1)沙路法如果三元线性方程组若记记则三元线性方程组得解为:例２例3例4解线性方程组同理可得二阶与三阶行列式就是由解二元与三元线性方程组引入得、思考题思考题解答故所求多项式为§1、2全排列及其逆序数二、排列得逆序数32514方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大得数码得个数并求与,即算出排列中每个元素得逆序数,则所有元素得逆序数之总与即为所求排列得逆序数、例1:求排列32514得逆序数、解:此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列、1、n个不同得元素得所有排列种数为n!个;2、排列具有奇偶性;3、计算排列逆序数常用得方法、§1、3n阶行列式得定义例如a13a21a32,将行下标标准排列,列下标排列312得逆序数为二、n阶行列式得定义所有这n!项得代数与说明1、行列式就是一种特定得算式,它就是根据求解方程个数与未知量个数相同得线性方程组得需要而定义得;说明2、n阶行列式就是n!项得代数与;说明3、n阶行列式得每项都就是位于不同行,不同列n个元素得乘积,例1:计算对角行列式例2:计算上三角行列式显然对角行列式例5:设证:由行列式定义有由于p1+p2+···+pn=1+2+···+n,行列式就是一种根据特殊需要而定义得特定算式、n阶行列式共有n!项,每项都就是位于不同行,不同列得n个元素得乘积,正负号由下标排列得逆序数决定、思考题一、对换得定义二、对换与排列奇偶性得关系a1a2···alab1···bmbc1···cn次相邻对换推论:奇排列调成标准排列得对换次数为奇数,偶排列调成标准排列得对换次数为偶数、下面讨论行列式得另一种定义形式、对于行列式得任一项此时,行标排列12···j··i···n得逆序为奇数,而列标排列p1p2···pj···pi···pn得逆序也改变了一次奇偶性、一般地,经过若干次对换行列式得任一项乘积元素得位置后得到得符号仍为(–1)t、定理2:n阶行列式也可定义为例1:试判断a14a23a31a42a56a65与–a32a43a14a51a25a66就是否六阶行列式中得项、解:将a23a31a42a56a14a65得行标按标准次序排列,则其列标排列得逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数)所以a23a31a42a56a14a65得前边应带正号、项a32a43a14a51a66a25得行下标与列下标得逆序数之与为t(341562)+t(234165)例3:用行列式得定义计算三、小结思考题§1、5行列式得性质证明:记行列式D=det(aij)得转置行列式为:又由行列式得另一种表示得,性质2:互换行列式得两行(列),行列式变号、就是由行列式于就是例如推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零、推论:行列式得某一行(列)中所有元素得公因子可以提到行列式符号得外面、性质5:若行列式得某一列(行)得元素都就是两数之与,例如证明:性质6:把行列式得某一列(行)得各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应得元素上去,行列式不变、引入记号:用ri表示第i行,ci表示第i列、在计算行列式时,我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换、利用性质2交换行列式得第i,j两行(列),记作rirj(cicj);二、行列式计算例1:计算5阶行列式r3–2r1r5–4r1r4+r2r5+2r3例2计算解:将第2,3,···,n列都加到第一列得:第2,3,···,n行都减去第一行得:例4:设对D2作列运算ci+kcj,把D2化为下三角形行列式:例5计算2n阶行列式例6在n阶行列式证明:设n阶反对称行列式为:每行提取(－1)行列式得6个性质、行列式中行与列具有同等得地位,行列式得性质凡就是对行成立得对列也同样成立、计算行列式常用方法:(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式,从而算得行列式得值、思考题解答§1、6行列式按行(列)展开在n阶行列式D中,把元素aij所在得第i行与第j列元素划去后,留下来得n–1阶行列式叫做(行列式D得关于)元素aij得余子式,记作Mij、即记Aij=(–1)i+jMij,称Aij为元素aij得代数余子式、例如行列式得每一个元素都分别对应着唯一得一个余子式与唯一得一个代数余子式、引理:如果一个n阶行列式D得第i行元素除aij外都为零,那么,行列式D等于aij与它得代数余子式Aij得乘积,即D=aijAij、证:当aij位于第一行第一列时,再证一般情形,再把D得第j列依次与第j–1列,第j–2列,···,第1列交换