寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60o的二面角-a-的两个面内，分别有A和B两点．已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段AB10，试求：（1）直线AB与棱a所构成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60o角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作ADa；在平面内作BE，CD//EB，连结BC、AC．可以证明CDa，则由二面角的平面角的定义，可知ADC为二面角-a-的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面内有一条直线AC与平面成30o，AC与棱BD成45o，求平面与平面的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A作AFBD；AE平面，连结FE．由三垂线定理可证BDEF，则AFE为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AFBD”、“连结EF”、“证明EFBD”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为-CD-内的一点，PA于A点，PB于B点，如果APBno，试求二面角-CD-的平面角．图1图2PAPACD分析：CD平面PAB．PBPBCD因此只要把平面PAB与平面、的交线画出来即可．证明AEB为-CD-的平面角，AEB180ono（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A作AECD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EBCD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AB1与平面AC1构成的二oo面角的平面角为30，平面AB1与平面BC1构成的二面角为70．试求平面AC1与平面BC1构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，H为CC1上的点，且CH：C1H1：2．设正方体的棱长为a，求平面D1EH与底面A1B1C1D1构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D1，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点E作EM//A1D1与D1D相交于M点，过M点作MNC1D1，与D1H相交于N点．可证平面EMN//平面A1B1C1D1．这样，求平面D1EH与平面A1B1C1D1的二面角的平面角就转化为求平面D1EH与平面EMN的二面角的平面角．显然EN为这两个平面的交线，过点M作MFEN，F为垂足，连结D1F，可证D1FEN．则D1FM为本题要寻找的二面角．五、找垂面，作垂线例6如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AD的中点，求平面B1C1CB和平面BC1M所构成的锐二面角的正切．分析：平面AC与二面角M-BC1-C的一个面B1C垂直，与另一个平面MBC1相交，过M点作MPBC，垂足为P，过P作PNBC，交BC1于N点，连结MN，由三垂线定理可证MNBC1，则MNP为二面角M-BC1-C的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定