现以2000年、2001年第十二届，第十三届“五羊杯”（广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。例18642097531、6420875319、4208653197、2086431975、864219753的平均数是（）。（A）4444455555（B）5555544444（C）4999999995（D）5999999994解注意已知五个数的特点：右起1至5位每位数字之和为1+3+5+7+9=25，6至10位每位数字之和为0+2+4+6+8=20，于是五个数的平均数为4444455555。选A。例2已知689□□□20312≈690亿（四舍五入），那么其中三位数□□□有（）种填写的方法。（A）1000（B）999（C）500（D）499解可填500，501，502，…，999，共500种填法。选C。例3不超过700π（π是圆周率）的最大整数是（）。（A）2100（B）2198（C）2199（D）2200解∵3.1415<π<3.1416，故2199.05<700π。所以应选C。例4（）÷（二次根式【内容综述】一般地，式子叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质：（1）。（2）【要点讲解】在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。★★例1、化简.思路通过分类讨论去掉根号。解原式例2、化简思路用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。解设11-6（则所以解得或说明本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。★★★例3、分母有理化。★★★例4化简思路对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。解法1原式=＝解法2原式说明对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。★★★例5若。思路先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。说明本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。★★★例6设的整数部分为a，小数部分为b，求a-b（2b+1）的值。★★★★例7化简由当时,当n<-2（除n=-2,因它使分母为零）时,=-,,∴==★★★★例8设且,求的值。解：设显然k≠0，则由已知得即∴由已知得∴说明：当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。★★★★例9设。则与S最接近的整数是多少？思路：所求式的各项的特征都相同，故可先研究每项的一般形式的结构，即所谓“通项的结构”。解：当n为整数时，有===∴故与X最接近的整数是1999。说明：如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。强化训练A级★★1、___________★★★2、若则_____________★★★3、若0<a<1,则可化简为_________★★★4、设，求的值。B级★★★5、若[a]表示实数a的整数部分，则=★★★6、分母有理化，___________★★★7、自然数满足。则_________★★★8、已知化简参考答案A级1、-2提示：原式==2、7提示：∴∴3、提示：原式=，∴，∴原式=4、1152提示：由条件知所以从而，原式===5、2提示：=6、提示：原式===7、10或14提示：已知条件的两边平方得，又由题设知是自然数，且或当时，这时当时，，这时。8、或由得.所以因为所以若a>0>b,原式=-ab；若a<0<b,原式=ab。韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。★★例1若a，b为实数，且，，求的值。思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数