开掘山体的土石方量【案情描述】修建铁路需要逢山开路、遇水架桥。现在有一座山，山体形状比较规则，其表面的形状大致介于圆锥面与抛物面之间，底座呈圆形。经测量，山高为300米，整座山占地约50亩。计划中的铁路并非穿山而过，只是途径山脚，所以不需要开挖隧道，但要开掘一部分山体，水平掘进距离约为30米。要求估算开掘的土石方量，以便估计工程量，进而探讨方案的可行性。为了适应其他山体开掘的计算，最好能形成土石方量的计算公式。【分析】具体数据符号化，是建立数学模型的首要工作。记山高为H，圆形的底座半径为R。已知H＝300米，R也是已知的，不过要通过占地面积换算，并且与H的计量单位一致：1001R50601069米。图1开掘山体形成铅直断面图2山体在水平面上的投影山体开掘后会形成一个断面，如图1所示，图中xOy平面是水平面，山体底座的中心为原点O。假定该断面是铅直的平面，则山体在xOy平面上的投影如图2所示，图中阴影部分对应挖去的山体，其中|AB|30米对应水平掘进距离，记b|OB|，显然b|OA||AB|R|AB|1063076米。对于一些特殊的几何体，如柱体、锥体、球体、圆台⋯⋯等，体积计算有现成的公式，而一般的几何体体积，都要通过积分计算，这是高等数学常识。积分的被积函数是曲面方程，所以要建立山体表面的曲面方程。22圆锥面的一般方程是zpkxy，以山的顶点坐标(0,0,H)和底面上点A的坐标(R,0,0)代入，定出参数p和k，可得圆锥面方程为H22zHxyR。（1）由于山的底座呈圆形，所以抛物面应该是旋转抛物面，同样以顶点坐标和底面坐标22代入其一般方程zpk(xy)，定出参数p和k，可得抛物面方程为H22zH2(xy)R。（2）【求解】根据微积分原理，如果立体表现为曲顶柱体，那么它的体积可以表示为二重积分Vf(x,y)dxdyD，其中zf(x,y)是柱体的曲顶方程，D是立体在xOy平面上的投影。对于挖去的山体，其投影是图2中的阴影部分，将函数（1）或（2）代入积分，就可以计算体积了。函数（2）不带根式，计算会简单一些，先计算抛物面山体中挖去部分的体积：H22V1H2(xy)dxdyDR。因为投影D是圆的一部分，所以利用极坐标计算比较恰当。直线BC的方程是xb，转换为极坐标方程是rbsec，圆弧AC的极坐标方程是rR。利用山体的对称性可进一步简化计算，图2中区域D的上半部极坐标范围是0≤≤，bsec≤r≤R，这里AOC。将二重积分化为二次积分，计算得到RH2214RH222RrrdV12d2(Rr)rdr00bsecRR2bsecH422244(R2Rbsecbsec)d2R20H4224132R2Rbtanbtantan2R30，R2b2tan注意到b，化简可得222H2Rb225bV1Rarctan2bRb22b63R。（3）以函数（1）为被积函数计算二重积分，可得圆锥面山体中挖去部分的体积：H22V2HxydxdyDRV同样利用极坐标和对称性，积分上下限与计算1时相同，计算过程如下：RH223RHRrrdV22d(Rr)rdrR030bsecRbsecH32233(R3Rbsec2bsec)d3R0H323R3Rbtanb(sectanln|sectan|)3R0，3secd其中不定积分的计算可以用循环分部积分法，也可以直接查不定积分表。注22RbRtansec意到b，b，化简可得22322H2Rb22bRRbV2Rarctan2bRbln3bRb。（4）公式（3）、（4）对不同尺寸的山体都适用。以H＝300米，R＝106米，b＝76米代入公式，注意反三角函数要用弧度表示，容易计算得到V1＝184748立方米，V2＝100338立方米。计算结果有较大差距来自于对山体形状的不同估测，抛物面山体因表面突出而有较大的体积。实际体积V介于两者之间，即V2VV1。取平均值得1V(V1V2)2142543立方米。若认为山体表面更接近于抛物面，则可取21VV1V233156611立方米。一般地取加权平均VV1(1)V2，其中(0,1)，可通过观测或测量选定的值，0.5表示山体表面更接近于圆锥面，0.5则表示山体表面接近于抛物面。表1列出了不同值对应的土石方量V。表1不同权数对应的土石方量权数0.20.40.60.8土石方量V（立方117220134102150984167866