VARMA模型1980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressivemodel）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。基本概念向量平稳过程设Xt=(x1t,x2t,…,xNt)由N个随机过程构成的多维随机过程。如果Xt的一阶矩（均值）和二阶矩（协方差）为时不变的，即与t没有关系，则称Xt为弱平稳过程。当k=0时，表示Xt的同期协方差矩阵，对角线元素ii(0)表示过程{xit}的方差，非对角线元素ij(0)表示过程{xit}与{xjt}的协方差。当k≠0时，对角线元素ii(k)表示{xit}与{xi,t-k}的协方差，非对角线元素ij(k)表示{xit}与{xj,t-k}的协方差。跨相关矩阵令D表示Xt=(x1t,x2t,…,xNt)标准差构成的对角矩阵，则Xt与Xt-k的相关系数矩阵为：其中，第i行第j列的元素具体为：当k=0时，ρ0=D-1Γ0D-1表示Xt的同期相关系数矩阵。对角线元素ii(0)表示过程{xit}的同期相关系数1，非对角线元素ij(0)表示过程{xit}与{xjt}的同期跨相关系数。当k≠0时，对角线元素ii(k)表示{xit}与{xit-k}的自相关系数，非对角线元素ij(k)表示{xit}与{xjt-k}的跨相关系数。显然，ij(k)与ji(k)表示不同的线性依存关系，一般情况下，ij(k)≠ji(k)。因此，ij(k)和ρij(k)不是对称矩阵。由以及平稳条件可得：即：ij(k)=ji(-k)，ij(k)表示矩阵(k)的第i行第j列元素，ji(-k)表示矩阵(-k)的第j行第i列元素。因此，(k)≠(-k)，而是(k)=(-k)'。同样地，ρij(k)≠ρ(-k)，而是ρ(k)=ρ(-k)'。将多维相关矩阵总结如下。ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}的自相关函数。ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}与{xjt}的同期相关系数。ij(k)（k=0,1,…）表示{xit}与{xj,t-k}的跨期相关系数。样本相关系数矩阵估计公式为：其中，Kosking（1980，1981）和LiandMcLeod（1981）将单变量情形下的Ljung-BoxQ统计量推广到多元情形。原假设为：ρ(k)=0，k=1,2,…m。即不存在自相关和跨相关。检验统计量为：在原假设成立的条件下，。其中，N表示变量的个数。例：1926年1月至1999年11月，SP500指数收益率和IBM股价收益率的自相关和跨相关。例：石油期货与现货价格多维变量滤子设A(L)和B(L)表示两个滤子。{Aj}和{Bj}表示mr和rs矩阵。滤子的积为D(L)=A(L)B(L)如果A(L)B(L)=I，则称B(L)为A(L)的逆，或者A(L)为B(L)的逆。从卷积公式可以看出，只要A00，A(L)的逆就存在。比如，求一阶多项式(L)=I-1L的逆。A0I，A1=-1。B0IB1+A1=0B1=-A1=1B2+A1B1+A2=0B2=-A1B1=12...Bj=1j向量自回归模型设定VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y1,t=f(y1,t-1,y1,t-2,…)y2,t=f(y2,t-1,y2,t-2,…)则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。VAR模型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut,utIID(0,)(8.4)其中，Yt为N1阶时间序列列向量。c为N1阶常数项列向量。1,…,k均为NN阶参数矩阵，utIID(0,)是N1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。用滞后算子的表述为：（I-1L-2L2-…-pLp）Yt=(L)Yt=c+ut此处，c表示的不是Yt的均值。对于平稳过程来讲，Yt的均值为：E(Yt)==(1)-1c，其中(1)=I-1-2-…-p以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR(1)模型为例，y1,t=c1+11y1,t-1+12y2,t-1+u1ty2,t=c2+21y1,t-1+22y2,t-1+u2t(8.1)其中u1t,