学号：200810111144HENANINSTITUTEOFENGINEERING文献翻译题目非线性动力系统的分岔与混沌研究学生姓名尚卫娟专业班级信息0841班学号200810111143系（部）数理科学系指导教师(职称)王霞完成时间2012年02月18日Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov南京航空航天大学数学系，南京210016，中国南京航空航天大学力学系，南京210016，中国摘要Genesio系统，这是一个被认为是只有一个二次非线性项的三维系统。它对一些参数有两个平衡点。我们对Hopf分岔进行了讨论，并已用待定系数法证明此系统的同宿轨道的存在。因此，Shilnikov标准保证Genesio系统具有Smale马蹄混沌。1引言混沌是最迷人的现象之一。在过去几十年，非线性动力系统的混沌现象的研究得到了人们的十分重视，详见【1】Lorenz混沌系统，【2】罗斯勒系统，【3】陈系统，【4】陆系统等。人们对简单的一个或两个非线性项的混沌系统是特别感兴趣的。Genesio和Tesi提出的Genesio系统混沌系统的典型之一，因为它抓住了混沌系统的许多功能。其中包括一个二次项，包含三个简单的常微分方程三负的实际参数。人们对很多关于本系统的同步工作都进行了研究。Ju通过反演方法和自适应控制器的设计研究Genesio混沌系统的同步。Chen和Han通过非线性反馈控制研究Genesio系统控制与同步。吴等人研究陈系统和Genesio系统之间的同步。就我们所知，这一类系统的Hopf分岔和Si'lnikov混沌的研究还没有完成。在本文中，讨论了Hopf分岔，和详细的研究，利用待定系数法，这是由周和陈系统，Lorenz，广义Lorenz规范家庭制度的成功使用的Si'lnikov同宿轨道的存在动力系统和一些新的混沌系统的形式。2Genesio系统的分岔分析2.1一般的动态分析给出Genesio系统的动力学方程：(1)其中x，y，z是状态变量，a，b，c是负参数。当a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）具有混沌吸引子，如图（1）。图（1）a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）的相图。当a<0,b<0,c<0时，系统（1）有两个平衡点(0,0,0),(-a,0,0)。在下，系统的雅克比矩阵为：(2)的特征方程为：(3)由于各方面系数为正，特征方程没有正实根。因此它具有至少一个负实根。根据Routh-Hurwitz判据，E1是稳定的，当且仅当满足以下条件：(4)因为a<0,b<0,c<0，我们只需将bc+a>0即可。令，方程式（3）化为：(5)当(6)另外，记(7)当，代数方程(5)有唯一的实根和一对共轭复根，其中因此时，特征方程（3）的三个根分别为：(8)其中。显然我们可以得出这样的结论，<0，因为=a<0。为了确保共轭复数根的实部为正且平衡点是鞍焦点，它进一步要求(9)所以>0和(9)保证平衡点E1是鞍焦点。在下，系统的雅克比矩阵为：（10）的特征方程为：（11）根据Routh-Hurwitz判据，是稳定的，当且仅当满足以下条件：（12）由于a<0，b<0，c<0，不能满足（12），所以是不稳定的。令，（11）化为：（13）其中（14）此外，记（15）当，代数方程(13)有唯一的实根和一对共轭复根，其中：此外，当时，特征方程（11）的三个根分别为：（16）容易看出>0，因为，，>0。为确保共轭复数根的实部为负，即是鞍焦点，它进一步要求：（17）2.2Hopf分岔如果是不稳定的，方程（3）有两个共轭复根。在稳定区域的边界,令，且，我们得到：。（18）所以，且（19）即。代与（3），我们得到（20）其中。令，（21）我们有（22）由[17]Hopf分岔时可能出现的令成为n维复Hilbert空间内积，因为，。考虑如下非线性系统（23）其中是一个光滑函数，并且它可以扩展成（24）其中，分别为双线性和三线性函数。在方程（21）中，如果矩阵A有一对纯虚根，令为一个复杂的特征值相对应的特征值，然后我们得到。同时，我们引进的伴随特征向量，其满足下列条件：（25）且有。系统（21）再原点O的的第一李雅普诺夫系数可以写成如【15,16】的样子当，系统（1）的雅克比矩阵在的值为（26）接下来，我们将计算方程（25）中矩阵A相应的向量p,q。通过繁琐的计算，我们有（27）和，（28）它们满足和。对于系统（1），双线性和三线性函数分别是（29）和。（30）其中。通过形如（26）—（29）的一些繁琐的操作，我们有，（31