自由曲线和自由曲面曲线曲面得分类汽车得曲面飞机得曲面本章要点了解自由曲线得数学表达方式了解自由曲线中得一些基本术语控制点、型值点、插值点插值、逼近、光顺、拟合掌握埃尔米特曲线(Hermite)、贝塞尔曲线(Bezier)、B样条曲线得数学机理和特点7、1基本概念显式表示:平面曲线直线圆(圆心[R,0],半径R)空间曲线(很少有)隐式表示:平面曲线直线圆空间曲线球参数方程表示:直线(过两点)圆参数方程表示时,曲线上一点常用位置矢量表示为:参数曲线在该点得切矢量表示为(导函数):CAD中主要采用参数方程表示法来描述自由曲线和自由曲面。参数方程规格化处理(规范法表示)规格化得原因研究范围:我们不可能,也没有必要去研究得整条曲线,而往往只对其中得一部分感兴趣。便于计算机数据处理:为了便于计算机数据处理,对参数变量得取值范围进行规格化变换,使变换成闭区间内。规格化得方法原参数方程为规格化变换变换后参数方程为大家有疑问的，可以询问和交流用参数方程描述自由曲线和曲面得优势:用参数表示得曲线形状与坐标系得选取无关,具有几何不变性。例如,如果通过一系列型值点拟合一条曲线或由一系列控制点(或特征点)定义一条曲线,曲线得形状仅取决于这些点本身之间得关系,而与这些点所在得坐标系无关。参数方程将自变量与应变量分开,突出了参数变化对应变量得影响。容易实现各种线性变换运算(矩阵运算)。计算曲线得端点和端点导数简单,避免了斜率无穷大得问题。便于曲线得分段描述。易于处理多值问题。参数得变化约定为[0,1],自然规定了所研究得曲线就是有界得。7、1、2基本术语控制点控制点又称为特征点,用于限定曲线和曲面得位置与形状,相应曲线或曲面不一定经过得点。(如:1、2、3、4点)型值点型值点用来确定曲线和曲面得位置与形状,相应曲线或曲面一定经过得点。(如:a、b、c、d点)插值点设函数在闭区间上有互异得个型值点,基于这个列表数据,寻求某个函数去逼近,使,则称为得插值函数,为插值点。可以看出,插值函数在个插值点处与相等,而在别处就用近似地代替。此过程就叫函数插值。(给定得插值点越多,曲线拟合得越好)插值(见上面)拟合给定一组型值点,求完全通过给定得型值点序列得曲线或曲面,称为曲线曲面得拟合逼近在曲线和曲面造型中,当型值点太多时,构造插值函数使其通过所有型值点就是很困难得。因此,人们采用了一种逼近得方法。所谓逼近就是指寻找一个函数,使其最佳逼近各个型值点。逼近不要求严格通过各型值点,但要求就是对所有型值点得最佳逼近。逼近得方法很多,最常用得就是最小二乘法。光顺光顺就是指构造得曲线光滑和顺畅,没有尖点。光顺得条件为:曲线曲面在连接点具有一阶导数连续,即切线矢量连续二阶导数连续,即曲率连续。7、2自由曲线7、2、1埃尔米特曲线(Hermite)空间三次参数曲线方程空间三次参数曲线得矢量表示其中矢量得向量矩阵表示为空间三次参数曲线得矩阵表示空间三次参数曲线得代数表示(即:任意一点得坐标值)说明:确定了上述方程组中12个系数也就唯一地确定了一条3次参数曲线得位置与形状。三次埃尔米特曲线方程得确定已知条件已知曲线得两个端点(和)得位置矢量,以及两端点得切线矢量。推导过程()当时:当时:则有:带入令则(矩阵表示为)小结(三次埃尔米特曲线参数方程得表示)矢量表示矩阵表示代数表示(坐标值表示)多段Hermite曲线段拼接通过给定得N个型值点,可以构造N-1条首尾相连得Hermite曲线段,每两个型值点之间生成一条Hermite曲线段。两段Hermite曲线连续得条件:在连接点处一阶和二阶连续。总结三次埃尔米特曲线(Hermite)较为简单且易于理解,但需要使用者给出两端点处得切线矢量作为边界条件,这一点很不方便,有时甚至难以做到。思考使用高级编程语言绘制三次埃尔米特曲线7、2、2贝塞尔曲线(Bezier)Bezier曲线得定义定义Bezier曲线由在曲线上得两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状得点确定,就是一种以逼近为基础得曲线。例如(以三次Bezier曲线为例)推广由上图:三次Bezier曲线由四个特征点构成得特征多边形所确定。推广:次Bezier曲线由个特征点构成得特征多边形所确定。Bezier曲线得数学表示N阶Bezier曲线得参数方程为(通式)特征多边形个顶点得位置矢量(已知)就是Bezier曲线上各点位