超级狩猎者2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）（1）设函数在处连续，则______．【答案】【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若函数在处连续，则有;解析：在处连续即（2）位于曲线,下方，轴上方的无界图形的面积是______．【答案】1【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】解析：所求面积为．其中，.（3）微分方程满足初始条件，的特解是______．【答案】【考点】可降阶的高阶微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：可降阶的高阶微分方程,若缺，则令.解析：方法1：将改写为，从而得.以初始条件代入，有，所以得.即，改写为.解得.再以初值代入，所以应取且.于是特解.方法2：这是属于缺的类型.命.原方程化为，得或即，不满足初始条件，弃之，由按分离变量法解之，得由初始条件可将先定出来：.于是得,解之，得.以代入，得，所以应取“+”号且.于是特解是.（4）______．【答案】【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】解析：记所以.（5）矩阵的非零特征值是______．【答案】4【考点】矩阵的特征值的计算【难易度】★★【详解】解析：故是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则＝（）（A）－1．（B）0.1．（C）1．（D）0.5．【答案】D【考点】导数的概念、复合函数的求导法则【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①为的线性主部；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②；解析：在可导条件下，.当时称为的线性主部，现在，以代入得，由题设它等于0.1，于是，应选（D）.（2）设函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：为的奇函数，为的偶函数，（D）正确，（A）、（C）是的奇函数，（B）可能非奇非偶.例如，均不选.（3）设是二阶常系数微分方程满足初始条件的特解，则当时，函数的极限（）（A）不存在．（B）等于1．（C）等于2．（D）等于3．【答案】C【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式【难易度】★★【详解】解析：方法1：方法2：由.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有，代入，有.（4）设函数在内有界且可导，则（）（A）当时，必有（B）当存在时，必有（C）当时，必有（D）当存在时，必有【答案】B【考点】导数的概念【难易度】★★★★【详解】解析：方法1：排斥法（A）的反例它有界，，但不存在.(C)与(D)的反例同（A）的反例.,但，（C）不成立；，（D）也不成立.（A）、（C）、（D）都不对，故选（B）．方法2：证明（B）正确.设存在，记为，求证.用反证法，设.若，则由保号性知，存在，当时,在区间上对用拉格朗日中值定理知,有，从而有，与有界矛盾.类似可证若亦矛盾.（5）设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数，必有（）（A）线性无关．（B）线性相关．（C）线性无关．（D）线性相关．【答案】A【考点】向量的线性表示【难易度】★★★【详解】解析：方法1：对任意常数，向量组，线性无关.用反证法，若，线性相关，因已知线性无关，故可由线性表出.设,因已知可由线性表出，设为代入上式，得这和不能由线性表出矛盾.故向量组，线性无关，应选（A）.方法2：用排除法取，向量组，即，线性相关不成立，排除（B）.取，向量组，，即，线性无关不成立，排除（C）.时，，线性相关不成立（证法与方法1类似，当时，选项（A）、（D）向量组是一样的，但结论不同，其中（A）成立，显然（D）不成立.）排除（D）.三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程．【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：=1\*GB3\*MERGEFORMAT①切线方程：=2\*GB3\*MERGEFORMAT②法线方程：解析：极坐标曲线化成直角坐标的参数方程为即曲线上的点对应的直角坐标为于是得