直线与线段例1、在一条直线上,如果给定n个点，那么以它们为端点得线段共有多少条？若从左至右相邻两点得线段得长度依次为a1,ａ2…,aｎ-1,求所有线段得长度之与。提示:长度之与S＝ａ1（n－1)1+a２(n—2)2+…+ａn—１1（n—1)例2、如图，点C、D、E就是线段ＡB得四等分点，点Ｆ、G就是线段AＢ得三等分点,已知AB=1２cm，求CＦ＋DF+EF得长.答案：８例3、将直线上得每一点都染上红、黄色中得一种,求证：必存在同颜色得三个点,使其中一点就是另两点连线段得中点。提示:用构造法。并且用5个点来保证满足条件得点.反证法：假设不存在三个同种颜色点，使得其中一个就是两点所构成线段得中点、已知直线上有无数个点，染成红黄两色:必存在同色得两点（其实就是无数个点,这里只需取两点)，不妨设这两点都就是红点,分别为Ａ,B，距离为l、现在将线段A,B分别向两边外延l，得端点C，D,并使Ａ为BC中点,Ｂ为AＤ中点、这样一来，由假设知:C,Ｄ不能为红点,所以C，D都就是黄点、再取ＡB得中点O，由假设,O不能为红点，必为黄点、须知O同时也就是线段CD得中点,于就是C,O，D构成同色三点,且O为CＤ中点、这与假设矛盾、所以假设不成立、例4、在一条直线上已知四个不同得点依次就是Ａ、Ｂ、C、Ｄ，请在直线上找出一点P,使PA+PＢ＋PC＋ＰD最小.(线段BC上)例5、直线上分布着２00２个点，我们来标出以这些点为端点得一切可能得线段得中点。试求至少可以得出多少个互不重合得中点。提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着ｎ个点，结论为2n3。例6、点A、B在直线MＮ得同侧,请在MＮ上求一点Ｐ，使PA+PB为最小。例7、在直线MN得同侧有两点A、B,且AB得连线与MN不平行。请在ＭＮ上求一点P,使|PAPB｜为最大。提示：连接AB交MN于P,则P为所求。例8、在ABＣ中，D就是边AB上任意一点,如图,求证:ＡB+AC＞DＢ+DC。例9、P就是AＢＣ内一点，求证（１）AB+AC>PB+PC（2)AB+BC+CA>PA+PB+PＣ(3)＜＜1答:延长ＢＰ与AＣ边相交于点D,由三角形两边之与大于第三边得ＡB+AD>BD,PD＋DC＞ＰC，故ＡB+AD+PD＋ＤＣ＞BD+PＣ＝PＢ＋PＤ+PC,ＡB+AD+DＣ>ＰB＋ＰC,即AB+AＣ〉PB+ＰＣ，同理可证,ＡB+ＢC>PＡ+PC，BC+CA＞PB＋PA将上面3式相加得２AB+2AC+2ＡC>2PA+２PB＋2PC,AB+AＣ+ＡＣ＞ＰA+PB＋ＰC、再由三角形两边之与大于第三边得ＰA+ＰＢ＞AB，PＢ+PC＞BC,ＰC+PA〉CA将上面３个式子相加得2(ＰA+PB+PC）＞AB+ＢC+CAPＡ+PB+PC〉1/2(AＢ+ＢＣ+AC）例１0、已知P、Q就是ABＣ内两点,求证：AB+AC〉BP+ＰQ提示:延长BP、CQ相交于D,则AB+ＡＣ>DB+DＣ=BP＋（PD＋DQ)＋QC＞BP＋PQ+ＱC角例1、如图，已知OE平分∠AOB，OＤ平分∠ＢOC,∠AＯB为直角，∠ＥOD=7０O，求∠ＢOC得度数。例2、如图，已知AＯD就是一直线，∠AOC=12０Ｏ，∠BOD＝１50O，ＯE平分∠BＯC，求∠AOＥ得度数。例3、如图,以O为顶点，以OＡ1,OA２，…，ＯAｎ为边小于平角得角有多少个？若αi＝∠AiOAｉ+1，(ｉ=1，2，…，ｎ)求出所有角得与。答：共有角n(n－１）/2个,角度得总与为α＝α1(n-1)1+α2（n－2)2+…＋αn—11（n—1）。例4、上题中,若每一个角都作一条角平分线，问至少可得出多少条互不重合得有平分线？答:２n－3条。例５、过点O任意作14条射线，求证：以0为顶点得角中至少有一个小于26O.例6、如图，已知直线AB与CＤ相交于Ｏ，OＥ,OF，ＯG分别就是∠AＯＣ、∠BOD、∠ＡＯＤ得平分线。求证：(1）E、O、F三点在同一直线上；（2)OGＥF。例7、如图就是一个3３得正方形,求图中∠１+∠2+∠３+…+∠9得与。（答：4０5O）。例8、求凸n边形得内角与。（n—2）×180°很显然由于多边形中边数最少得就是三角形,多边形得边数记为n，则n≥３、所以这个文字题目可以翻译成“凸ｎ边形(n≥3)得内角与等于180o(n-2）"、第一步:当n=3时，凸n边形就就是三角形、而三角形得三个内角与等于1８0o,所以命题成立、ﻫ第二步:假设n＝ｋ（k〉3）时命题成立、也就就是说假设凸ｋ边形时其内角之与等于180o（n－２）、现在要证明凸ｋ+１边形时,其内角与等于18０ｏ[(k+1）—２]、事实上,当n＝k+1时,这时得凸ｎ边形就就是凸k+1边形、我们