第三章空间向量与立体几何§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.1空间向量基本定理课后篇巩固提升合格考达标练1.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23答案A解析如图所示,连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,AE=12(AB+AC)=12(OB-2OA+OC),AG1=23AE=13(OB-2OA+OC).因为OG=3GG1=3(OG1-OG),所以OG=34OG1.则OG=34OG1=34(OA+AG1)=34OA+13OB-23OA+13OC=14OA+14OB+14OC.所以(x,y,z)为14,14,14.2.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB-OC,则不能与a,b构成空间的一个基的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB答案C解析∵a=OA+OB+OC,b=OA+OB-OC,∴OC=12(a-b),∴OC与向量a,b共面,∴OC,a,b不能构成空间的一组基.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,A1C1与B1D1的交点为E,则BE=.答案-12a+12b+c解析如图,BE=BB1+B1E=AA1+12(B1C1+B1A1)=AA1+12(AD-AB)=-12a+12b+c.4.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ=.答案3解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,MA=-13AC,ND=13A1D,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.解连接AN,则MN=MA+AN.由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得AC=AB+AD=a+b,MA=-13AC=-13(a+b),又A1D=AD-AA1=b-c,故AN=AD+DN=AD-ND=AD-13A1D=b-13(b-c),所以MN=MA+AN=-13(a+b)+b-13(b-c)=13(-a+b+c).等级考提升练6.{a,b,c}为空间向量的一组基,则下列各选项中,能构成空间向量的一组基的是()A.{a,a+b,a-b}B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b}D.{a+b,a-b,a+2b}答案C解析对于选项A,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能构成基,排除A;对于选项B,因为(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能构成基,排除B;对于选项D,a+2b=32(a+b)-12(a-b),所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基,排除D;对于选项C,若c,a+b,a-b共面,则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b,则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间向量的一组基相矛盾,故c,a+b,a-b不共面,可以构成空间向量的一组基,故选C.7.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若OA=a,OB=b,OC=c,则BD等于()A.12a-b+12cB.a+b-cC.a-b+cD.-12a+b-12c答案A解析由题意可知BD=BO+OD,BO=-b,OD=12OA+12OC=12a+12c,所以BD=12a-b+12c.故选A.8.(多选题)已知{a,b,c}是空间的一组基,下列向量中,可以与2a-b,a+b构成空间的一组基的向量是()A.2aB.-bC.cD.a+c答案CD9.(多选题)若{a,b,c}是空间的一组基,则下列选项中能构成空间的一组基的是()A.{a,2b,3c}B.{a+b,b+c,c+a}C.{a+2b,2b+3c,3a-9c}D.{a+b+c,b,c}答案ABD解析由于a,b,c不共面,根据空间向量基本定理可判断A,B,D中三个向量也不共面,可以构成空间的一组基.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成空间的一组基.10.(多选题)给出下列命题,其中正确命题有()A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一组基C.A,B,M,N是空间四点,