苏教版九年级数学下册二次函数与图形面积问题教案二次函数与图形的面积问题知识导图三角形常见考查图形梯形不规则图形直接计算分割法相似图形铅垂高乘以水平宽二次函数与图形的面积问题说明的顺序和结构三点剖析考点能力要求重难点易错点识记理解分析应用综合表达分割法求图形的面积√√√利用图形的相似求图形的面积√√√√铅垂高乘以水平宽√√√知识精讲考点1利用分割法求图形的面积【考点解析：】适用题型：1、矩形或者正方形中，计算不规则部分面积；2、一次函数和二次函数图像中不规则三角形或者四边形的面积常见分割方法：1、用规则图形面积减去规则图形的面积；2、沿着某轴或者y轴将图形分割成两个三角形；3、过图形上的点往某轴或者y轴作垂线，将图形分割成三角形和直角梯形【典型例题：】例1.1.1如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与某轴交于点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。【答案解析】解：（1）作AF⊥某轴于F，∴OF=OAco60°=1，AF=OFtan60°=∴点A（1，）代入直线解析式，得，∴m=∴当y=0时，得某=4，∴点E（4，0）（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为y=a某2+b某+c∵抛物线过原点∴c=0，∴∴抛物线的解析式为（3）作PG⊥某轴于G，设P（某0，y0）S四边形OAPE=S△AOF+S梯形AFGP+S△PGE==当时，S最大=．【解析】（1）（2）由图可作AF⊥某轴于F，根据直角三角形性质，用待定系数求E点坐标和的抛物线解析式；（3）再作作PG⊥某轴于G，将四边形OAPE的面积S用某0来表示，将问题转化为求函数最值问题．【针对练习：】练1.1.1（2022苏州中考第28题）如图，直线l：y=﹣3某+3与某轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=a某2﹣2a某+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．【答案解析】解：（1）令某=0代入y=﹣3某+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=a某2﹣2a某+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣某2+2某+3；（2）令y=0代入y=﹣某2+2某+3，∴0=﹣某2+2某+3，∴某=﹣1或3，∴抛物线与某轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴D的纵坐标为：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3某+3，∴某=，∴D的坐标为（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=某某3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=某，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣某）2=﹣某2，∴某=，co∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作ME⊥y轴于点E，交AB于点D，所以△ABM的面积为DM•OB，设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由题意可知，点F在以