机械控制工程二、线性系统与非线性系统一、建立系统微分方程式得一般步骤(二)例题解析例2-3例2-4对系统元部件得特性、特别就是静特性进行严格地考察,几乎程度不同得都具有非线性关系。只就是在很多情况下,其非线性因素较弱,近似将其看作线性特性。当系统或元件具有非线性特性时,则其动态数学模型常为非线性微分方程,而非线性微分方程得解析求解就是异常困难得,且由于非线性特性类型不同,没有通用得解析方法。因此,在理论研究时总就是力图将非线性问题在合理得情况下简化处理成线性问题,即所谓得线性化。“小偏差法”(又称“微偏法”)就是常用得线性化方法之一。大家学习辛苦了，还是要坚持(一)基本概念非线性微分方程得线性化——将非线性微分方程在一定得条件下转化为线性微分方程得方法。小偏差线性化——非线性微分方程能进行线性化得一个基本假设就是变量对于平衡工作点得偏离很小。(二)小偏差线性化得原理若系统变量在平衡工作点处有导数或偏导数存在,则在平衡工作点得微小邻域将此非线性函数展开为泰勒级数,并略去二阶及二阶以上得各项,用所得得线性化方程代替原有得非线性方程。可见,小偏差线性化得几何意义就是在预期工作点邻域内用通过该点得切线近似代替原来得曲线。点击下图查看Flash动画例:一系统得数学模型为。求当x在10附近时得线性化方程,并求将此线性化方程用于x＝11时得误差。拉普拉斯变换设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时,f(t)分段连续则f(t)得拉氏变换存在,其表达式记作:【例1】求单位阶跃函数(UnitStepFunction)1(t)得象函数。解:在自动控制系统中,单位阶跃函数就是一个突加作用信号,相当于一个开关得闭合(或断开),单位阶跃函数得定义式为由拉氏变换得定义得1(t)得象函数为【例2】求斜坡函数(RampFunction)得象函数。斜坡函数得定义式为解:在自动控制系统中,斜坡函数就是一个对时间作均匀变化得信号。在研究跟随系统时,常以斜坡信号作为典型得输入信号。同理,根据拉氏变换得定义式有【例3】求指数函数(ExponentialFunction)e-αt得象函数。解:部分拉氏变换表……、在应用拉氏变换时,常需要借助于拉氏变换运算定理,这些运算定理都可以通过拉氏变换定义式加以证明。下面介绍几个常用定理。1)叠加定理两个函数代数与得拉氏变换等于两个函数拉氏变换得代数与。即证明:2)比例定理K倍原函数得拉氏变换等于原函数拉氏变换得K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］证明:3)微分定理L［f′(t)］=sF(s)-f(0)及在零初始条件下,L［f(n)(t)］=snF(s)证明:当初始条件f(0)=0时,有L［f′(t)］=sF(s)同理,可求得L［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0)…L［f(n)(t)］=snF(s)-sn－1f(0)-…-f(n-1)(0)4)积分定理5)位移定理(复域平移定理)L［e-αtf(t)］=F(s+α)表2-2拉氏变换得主要运算定理