第20讲列方程解应用题内容概述列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法．而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题．方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃．下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力．典型问题1．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给几个人?【分析与解】设原有个鸡蛋，那么第一人拿了个鸡蛋，第二人拿了个鸡蛋．解得，则第一人拿了个鸡蛋，所以共有64÷8＝8人.即共有64个鸡蛋，分给8个人．2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家．有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的?【分析与解】设此人在步行分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“１”，汽车从家到单位需要分钟．由家到单位的总路程为，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要－44分钟．而汽车是从5：00-从家出发，在4：00+达到相遇点．所以行驶-60分钟．，有．所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的．3．一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B?【分析与解】设不只答对A的为人，仅答对B的为人，没有答对A但答对B与C的为z人．解得：，=7时，、都是正整数，所以。故只答对B的有6人．4．河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时．若他由R到Q再到P，共需６小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需小时．问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时?【分析与解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：，且有1+y、1—y、y均不为0．①-②得，即……………………………………………………………………④③-①得，即………………………………………………………………⑤由②、④、⑤得，即.于是，.由②得.小时.即题中所述情况下从R到Q再到P需小时．第21讲行程与工程内容概述运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．典型问题1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?【分析与解】BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷=18(分钟)．因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；A至D全程长是(36+54)×+30×=11.5千米．2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?【分析与解】×4=即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点．圆半径乘以4后，跳16次到A点．依次类推，由于4+8+16+32+64+