目录HYPERLINK\l"_bookmark0"第一章圆锥曲线的常见结论1HYPERLINK\l"_bookmark1"椭圆的常见结论1HYPERLINK\l"_bookmark2"双曲线的常见结论7HYPERLINK\l"_bookmark5"抛物线的常见结论14第一章圆锥曲线的常见结论本章我们将给出圆锥曲线的一些常见结论,在实际解题过程中,遇到选择题和填空题可以直接使用,若是解答题,则不能直接使用,需给出证明过程.第1.1节椭圆的常见结论这里我们以中心在原点,焦点在x轴上的椭圆x2+y2=1为例,给出一些常见结论,a2b2至于焦点在y轴上的椭圆的结论是否一致?请仿照焦点在x轴上的情况自行判断.结论一如图所示,过左焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则△ABF2的周长为4a(定值).BF1OAF2yx证明由椭圆的定义可知:|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a,即△ABF2的周长为4a.练习1.过椭圆E:4x2+y2=1的一个焦点F1的直线l与E交于A,B两点,则A,B与另一个焦点F2所构成的△ABF2的周长等于().A.2B.4C.√2D.2√2yy结论二如图所示,在△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,记△PF1F2的面积为S,则PbθbbxF1OF22S=b2·tanθ;△PF1F2的面积S的最大值Smax=bc;当点P在短轴的端点时,∠F1PF2最大.证明(1)在△PF1F2中,由余弦定理可知:cosθ=|PF1|2+|PF2|2−4c2,所以2|PF1|·|PF2|2|PF1|·|PF2|·cosθ=|PF1|2+|PF2|2−4c22=(|PF1|+|PF2|)−2|PF1|·|PF2|−4c2=4a2−2|PF1|·|PF2|−4c2=4b2−2|PF1|·|PF2|2从而|PF|·|PF|=2b,于是121+cosθ1b2sinθb2·2sinθcosθ2θS=2|PF1|·|PF2|·sinθ=1+cosθ=22cos2θ2=btan2设点P的纵坐标为yP,则△PF1F2的面积22S=1|F1F2|·|yP|=1·2c·|yP|=c·|yP|当|yP|=b时,即点P在短轴的端点时,△PF1F2的面积S取得最大值bc设点P的坐标为(x0,y0),在△PF1F2中,由余弦定理可知:0cosθ=|PF1|2+|PF2|2−4c2=(a+ex0)2+(a−ex0)2−4c2=2a2+2e2x2−4c2=4a2−4c2−12|PF1|·|PF2|2(a+ex0)·(a−ex0)2a2−2e2x22a2−2e2x2当x=0时,cosθ有最小值a2−2c2,即∠FPF最大.0a212练习2.设F,F是椭圆C:x2+y2=1的两个焦点,若C上存在点P,使得123m∠F1PF2=120◦,则实数m的取值范围是.361001212练习3.已知点P在椭圆C:x2+y2=1上,F,F是C的两个焦点,若△PFF的面积为18,则∠F1PF2的余弦值等于.结论三如图所示,以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.PMF1OF2yx证明取PF1的中点M,连接OM,则圆M的直径为F1P,半径为MF1,在△PF1F2中,因为M为F1P的中点,O为F1F2的中点,所以222OM=1|PF2|=1(2a−|PF1|)=a−1|PF1|=a−|MF1|因此圆M与圆O内切,即以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆O:x2+y2=a2内切.结论四如图所示,若N为椭圆内一定点,点P在椭圆上,则yPbNbbbxF1OF2|PN|+|PF2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|;|PN|+|PF1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.证明(1)因为|PN|+|PF2|=|PN|+2a−|PF1|=2a+(|PN|−|PF1|),由于−|NF1|™|PN|−|PF1|™|NF1|因此|PN|+|PF2|的最大值为2a+|NF1|,最小值为2a−|NF1|.注:该结论可以记成“椭圆上的点到椭圆内一定点的距离与其中一焦点的距离之和有最值.”(2)同理可证,|PN|+|PF1|的最大值为2a+|NF2|,最小值为2a−|NF2|.9212练习4.已知椭圆C:x2