第三讲数论真题模考从…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?为了保证剩下的数最大，最高位数字要尽可能地大，先从中划去个数字剩下；再从中划去个教字剩下个；再从中划去个数字剩下尽可能大的数，所以最大的数是．为了保证剩下的数最小，最高位数字要尽可能地小．从中划去个数字剩下：再从中划去个数字，剩下个，最后从中划去个数字，剩下尽可能小的数，所以最小的数是．解答：最大的是．最小的是．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．平方数的末尾只能是，因为都不是完全平方数，所以所求的数最小是位数．考察可以知道，所以满足条件的最小正整数是．解答：满足条件的最小正整教是．一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?第一第二所以第三至少得有四个不同的自然数，它们的和是，则它们的最大公约数最大是（）．，四个数分别最大公约数为101．有一种商品，买个要角钱，买个要角钱，买个要角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品个，要是他们的钱合在一起，则最多能买个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（）个．小明的钱数：（角）两人一共有钱：（角）小红有钱：（角）小红最多能买：有两个两位数，它们的差是，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（）（请写出所有可能的答案）．个位只能和或和中只有符合中只有和符合所以一共有三组答案．令，其中的数字是由依次写下正整数至得到的，则小数点右边第位数字是（）第个三位数是即的下一位是连续个偶数的和是．这个数中最大的一个偶数是多少?这七个数分别是最大是一个三位数除以，商是a，余数是b（a、b都是正数)．求a+b的最大值．那么一个三位数为余数最大．这个数最大值．（1）把分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？和考点拓展如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数至少有一个倍数为“交替数”，则把称为“好数”．是“好数”吗？说明理由．证明：是“好数”．证明：所有与互质的正整数都是“好数”．（1）的任何倍数的十位和个位都是偶数．（2），前两位都是偶数，用“改造”千位，．万位和千位都是奇数，“改造”十万位和万位，，满足条件．（3）首先证明任意一个与互质的数都有倍数可以写成“”的形式，证：设这个与“”互质的数是,取个不同的自然数，求被除所得的余数，根据抽屉原理，必有两个余数相等，将余数相等的两个被除数相减，则可得到“”，这个数能被整除，由于与互质，所以去掉末尾的后，剩下的仍是的倍数，设这个数由个构成，即写成，将这个数重复写两遍得到，它也是的倍数，将它除以，再乘以（能被整除），得到，这个数仍然是的倍数，并且是“交替数”，所以是“好数”．n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n除以37的所有可能的余数之和为．可能为它们的余数分别是余数之和在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．(解一)不可能，因为从选出个加上从选出个，结果可能是，共有种情况，一旦确定一个数，如，那么和就不能再出现，即确定一个数就减少两种情况，那么确定个数就需要种情况，本题只有种情况，所以不可能．（解二）不可能，末2位数字都不相同说明各有一个．而，末2位数字为．所有选手身上和号码布上的号码总和应该为：，末2位数字为00．已知是正整数，规定，令，则整数除以的余数为（）（解一）余数是余数是余数是余数是余数是（解二）能够整除，所以的余数是一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？假设该混循环小数是，那么其中，，且≠，所以不是和的倍数.令，，则，那么，而所以是的约数，且不是和的倍数.的约数中的倍数有，的约数中的倍数有个，的倍数有个，即是也是的倍数有个，显然对任意值，和都有以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有个，对应的也有个，即这样的分数有个，有一个四位整数．在