空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．(2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；②空间向量的数量积的性质：a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．③空间向量的数量积的运算律：(a)·b＝(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．(4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；a＝(a1，a2，a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．③空间向量平行和垂直的条件：a∥b(b≠0)a＝ba1＝b1，a2＝b2，a3＝b3(∈R)；a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，其中向量a叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l⊥平面，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量．由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②l⊥ma⊥ba·b＝0；③l∥a⊥ua·u＝0；④l⊥a∥ua＝ku，k∈R；⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为，显然则②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a的方向向量是u，平面的法向量是v，直线a与平面的夹角为，显然，则③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－l－在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角－l－的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角－l－的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角－l－的大小就是向量的夹角的大小．方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解