图7-4回头曲线(qūxiàn)图7-5螺旋线图7-6竖曲线(qūxiàn)在公路曲线(qūxiàn)测设中，还有一种用以连接不同平面上直线的曲线(qūxiàn)，这是立交曲线(qūxiàn)。该曲线(qūxiàn)由高度为h1的平面上升到高度为h2的平面。曲线(qūxiàn)测设的方法有多种，常见的有极坐标法、坐标法、偏角法、切线支距法等。§7-2平面曲线一般平面曲线是按“直线+缓和曲线+圆曲线+缓和曲线+直线）的顺序连接组成完整的线形。平面曲线最基本的是圆曲线和缓和曲线，其他曲线是由其派生而成曲线。一、圆曲线单圆曲线简称圆曲线，是最简单的一种曲线，其测设和资料计算都比较容易。但在测设之前，必须(bìxū)进行曲线要素及主要点的里程计算。1．圆曲线要素及其计算如图7-7，圆曲线的半径R、偏角（即线路转向角）、切线长T、曲线长L、外矢距E及切曲差q（又叫校正数或超距），称为曲线要素。其中，R及均为已知数据。R是在设计中按线路等级及地形条件等因素选定的；是线路定测时测出的。其余要素可按下列关系式计算得出：其中，切曲差q除了用来校核切线长T及曲线长L外，还用以验算主要点里程的计算。例1：已知=10°25′10″、R=800m，求曲线各要素。由公式（7-1）计算可得：T=72.94mL=145.48mE=3.32mq=2T-L=0.40m。2．圆曲线主要点里程的计算从图7-7可以看出，圆曲线的主要点包括：ZY点（直圆点）：直线与圆曲线的连接点；QZ点（曲中点）：圆曲线的中点；YZ点（圆直点）：圆曲线与直线的连接点。其主要点的里程，可自交点JD的里程算得。接前面(qiánmian)的例子，设已知JD的里程为DK11+295.78，求ZY、QZ、YZ点的里程。二、有缓和曲线的圆曲线1．缓和曲线列车在曲线上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用外轨超高的方法(fāngfǎ)来克服离心力。如图7-8所示，列车在曲线上行驶时，作用在火车上的力有两个，一个是火车的自重P，另一个是轨道对火车的托力Q。它们的合力F便是火车得到的平衡离心力的向心力。为了使列车预期倾斜，可以通过升高外轨来达到目的，称为超高（h0）。从图中不难看出，由相似三角形的关系，有式中b为轨距，取值1.5m。从力学知识可知，F=m·2/R，P=m·g。故一般认为平均速度为最高速度的80%，所以（7-2）式也可表示为：当列车平均速度=120km/h、曲线半径R=1200m，则以（7-2）式算得外轨超高值为142mm。这对铁路的运营是个不容忽视的数字。直线的曲率半径为∞，故列车在直线上行驶，两轨面等高。当列车进入半径为R的曲线轨道时，外轨必须突然抬高h0（图7-9（a））。这种台阶状的轨面将给火车的安全(ānquán)运行及铁道的使用寿命带来不良的影响。这时，如果在直线与圆曲线之间插入一条半径由∞渐变至圆曲线半径R的过渡曲线（称为缓和曲线），则超高即由0递增到h0（见图7-9（b）），以便减缓车轮对外轨的冲击，达到安全(ānquán)、平顺行驶的目的。当半径很大，车速较低，超高h0不会很大时，对非国家等级的铁路线，就不一定要增设过渡曲线。如工矿企业中的生产专用线，当h0<10mm时，便可不考虑。缓和曲线可用螺旋线、三次(sāncì)抛物线等空间曲线来设置。我国铁路上采用螺旋线作为缓和曲线。当在直线与圆曲线之间嵌入缓和曲线后，其曲率半径由无穷大（与直线连接处）逐渐变化到圆曲线的半径R（与圆曲线连接处）。螺旋线具有的特性是：曲线上任意一点的曲率半径R′与该点至起点的曲线长l成反比，即式中c为常数，称为曲线半径变化率。当l等于所采用的缓和曲线长度l0时，缓和曲线的半径R′等于圆曲线半径R，故缓和曲线除了用以连接直线和圆曲线外，还用于连接不同曲率半径的圆曲线。在复曲线测设中，当两相邻圆曲线的曲率半径差超过一定值时，这两个圆曲线必须通过缓和曲线来连接。此时，其曲线半径变化率c可以这样表示：式中R1、R2为两相邻圆曲线的半径，设R1>R2；为连接两圆曲线的缓和曲线长度。2．有缓和曲线的圆曲线图7-10（a）为单圆曲线的情形。在直线与圆曲线间嵌入缓和曲线时，当圆曲线两端加入缓和曲线后，圆曲线应内移一段距离，方能使缓和曲线与直线衔接。而内移圆曲线，可采用移动圆心或缩短半径的办法实现。我国在铁路、公路的曲线测设中，一般(yībān)采用内移圆心的方法。如图7-10（b），若圆曲线的圆心O1沿着圆心角的平分线内移至O2（此时O1O2=，p值的大小，按（7-7）式计算），圆曲线的两端就可以插入缓和曲线，把圆曲线与直线平顺地连接起来。具有缓和曲线的圆曲线，其主要点为：ZH（直缓点）：直线与缓和