横山桥高级中学2010—2011学年度第一学期期中考试高三年级数学试题考生注意：1．本试卷，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分.本试卷满分160分，考试时间120分钟.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置.3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效.4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1、若，则___▲___.2、存在实数，使得成立，则的取值范围是___▲___.3、已知数列为等差数列，且，则=___▲___.4、已知向量，若与垂直，则___▲___.5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，不等式的解集为，则___▲___.6、已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是___▲___.7、设为互不重合的两个平面，为互不重合的两条直线，给出下列四个命题：①若，则；②若∥，∥，则∥③若，则④若，∥，则∥其中所有正确命题的序号是___▲___.8、若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，则△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___.9、已知函数在内至少有个最小值点,则正整数的最小值为___▲___.10、如果实数，则的最大值为___▲___.11、已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为___▲___.12、已知集合|是棱长为1的正方体表面上的点，且，则集合中所有点的轨迹的长度是___▲___.13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为，则=___▲___.14、已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为___▲___.二、解答题：本大题共六小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分14分）已知向量＝(，)，＝(，)，定义函数＝(1)求的最小正周期；(2)若△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及的大小.16．（本题满分14分）在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接（1）求证：平面（2）求证：四边形为正方形17．（本题满分14分）如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,（1）按下列要求写出函数的关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式，（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值.18．（本题满分16分）函数，()，A=（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围；（Ⅲ）如果，当“对任意恒成立”与“在内必有解”同时成立时，求的最大值．19．(本题满分16分)设为数列的前项之积，满足．(1)设，证明数列是等差数列，并求和；(2)设求证：．20．（本题满分16分）函数．（1）试求的单调区间；（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；（3）求证：不等式对于恒成立．二、解答题：15.解：(1)f(x)＝p·q＝(sinx，eq\r(3)cosx)·(cosx，cosx)＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x………………2分＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\r(3)·eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝sin(2x＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2).………………………………………………………………………………4分∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.………………………………………………………………6分(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分又c2＋ac－a2＝bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ac＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).…………………………………………………10分又∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3).…………………………………………………………………………12分f(A)＝sin(2×eq\f(π,3)＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)＝sinπ＋eq\f(\r