江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试高等数学试题卷（二年级）注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及右下角的座位号填写清楚．2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．3、本试卷，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟．选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1、极限()A.B.C.D.2、设,则函数的第一类间断点的个数为()A.B.C.D.3、设，则函数()A.只有一个最大值B.只有一个极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值4、设在点处的全微分为()A.B.C.D.5、二次积分在极坐标系下可化为()A.B.C.D.6、下列级数中条件收敛的是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7要使函数在点处连续，则需补充定义_________．8、设函数，则____________．9、设，则函数的微分___________．10、设向量互相垂直，且，则___________．11、设反常积分，则常数__________．12、幂级数的收敛域为____________．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13、求极限．14、设函数由参数方程所确定，求．15、求不定积分．16、计算定积分．17、已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程．18、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求．19、已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解．20、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、在抛物线上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．22、已知定义在上的可导函数满足方程，试求：（1）函数的表达式；（2）函数的单调区间与极值；（3）曲线的凹凸区间与拐点．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23、证明：当时，．24、设，其中函数在上连续，且证明：函数在处可导，且．一．选择题1-5BCCABD二．填空题7-12三．计算题13、求极限．原式=14、设函数由参数方程所确定，求．原式=15、求不定积分．原式=16、计算定积分．原式=令，则原式=17、已知平面通过与轴，求通过且与平面平行，又与轴垂直的直线方程．解：平面的法向量，直线方向向量为,直线方程：18、设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数具有二阶连续导数，求．解：19、已知函数的一个原函数为，求微分方程的通解．解：，先求的通解，特征方程：，，齐次方程的通解为.令特解为，代入原方程得：，有待定系数法得：，解得，所以通解为20、计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的平面闭区域．原式=.四．综合题21、在抛物线上求一点，使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成的平面图形的面积为，并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积．解：设点，则，切线：即，由题意，得，22、已知定义在上的可导函数满足方程，试求：（1）函数的表达式；（2）函数的单调区间与极值；（3）曲线的凹凸区间与拐点．解：（1）已知两边同时对求导得：即：，则由题意得：，，则（2）列表讨论得在单调递增，在单调递减。极大值，极小值（3）列表讨论得在凹，在凸。拐点五、证明题23、证明：当时，．解：令,，在，单调递增，，所以在，单调递增，则有，得证。24、设，其中函数在上连续，且证明：函数在处可导，且．解：因为，即所以有又因为在上连续，所以，则