第27讲整取问题内容概述有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．我们规定[]表示不超过的最大整数，{}=-[]，即为的小数或真分数部分．如[3.14]=3，{3.14}=0.14，显然有{x}<1．O≤{x}+{y}<2(、y均为整数时等号才成立)．典型问题2．求的和．【分析与解】我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:最后一项为1981不难得到，再看+；=+=+所以有+=1981=+++=+++因为+的和为整数,所以+的和也为整数,但是我们知道0≤{}+{y}<2；在此题中显然≠0，所以+=1于是+=1981-1=1980；这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和=990；所以为1002×1980+990+1981=1986931．4．解方程[]{}+=2{}+10【分析与解】我们注意到不超过10，不能小于5；所以当[]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{}当[]=5时，有5{}+5+{}=2{}+10；则4{}=5，{}>1，不满足；当[]=6时，有6{}+6+{}=2{}+10；则5{}=4，{}=；当[]=7时，有7{}+7+{}=2{}+10；则6{x}=3，{}=；当[]=8时，有8{}+8+{}=2{}+10；则7{}=2，{}=；当[]=9时，有9{}+9+{}=2{}+10；则8{}=1，{}=；当[]=10时，有10{}+10+{}=2{}+10；则9{}=0，{}=0．所以有=6，7，8，9，10．6．满足=546．求[100]的值?【分析与解】显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[]或[+1]，这是因为：、、…、均小于l，又由于73×7<546<73×8，为使和数为546，则[]=7，则设有个[+]值为7，于是，7×+8×(73-)=546,解得=38．所以有38项整数部分为7．即：+<8，即+<8．+≥8，即+≥8于是，100[+]<8×100．100+56<800，100<744；100+57≥800，100≥743．于是，[100]=743第28讲数论综合3内容概述具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．典型问题2.有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?【分析与解】设这三个自然数为A，B，C，且A=×，B=×,C=×，当、、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数、、应尽可能的取较小值，显然当、、为2、3、5时最小，有A=2×3=6,B=3×5=15，C=5×2=10．于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．4.对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?【分析与解】设这两个数为、，且<，有=×(+)，即.当=2时，有，即(-2)×(-2)=22=4，有，但是要求≠．所以只有满足；当=3时，有，即(-3)×(-3)=32=9，有，但是要求≠．所以只有满足；……逐个验证的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?【分析与解】当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，显然当N取l时，乙一定获胜；当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．于是，当N取1，3，7，9，11，13