第八章数学思想方法§8.2数形结合思想1.(烟台,11,3分)二次函数y=ax2+bx+c图象如图所表示,以下结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.其中正确有 () A.①②B.①③C.②③D.①②③2.若m、n(其中n<m)是关于x一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0两个根,且b<a,则m,n,b,a大小关系是 ()A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.b<n<m<aD.n<b<a<m3.(凉山州,7,4分)小明和哥哥从家里出去买书,从家出来走了20分钟到一个离家1000米书店,小明买了书后随即按原速返回.哥哥看了20分钟书后,用15分钟返回家.下面图形中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间关系 () 4.如图,函数y=mx-4m(m<0)图象分别交x轴、y轴于点M,N,线段MN上A,B两点在x轴射影分别为A1,B1,若OA1+OB1>4,则△OAA1面积S1与△OBB1面积S2大小关系是 () A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不确定5.(绍兴,13)如图,已知函数y=x+b和y=ax+3图象交点为P,则不等式x+b>ax+3解集为. 6.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”如图,在一个边长为1正方形纸板上,依次贴上面积为 , , ,…, 矩形彩色纸片(n为大于1整数).请你用“数形结合”思想,计算 + + +…+ =. 7.(湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长速度做匀速运动,点N从A出发沿边AB→BC→CO以每秒2个单位长速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停顿运动.(1)当t=2时,求线段PQ长;(2)求t为何值时,点P与N重合;(3)设△APN面积为S,求S与t函数关系式及t取值范围. 解析(1)在菱形OABC中,易知∠AOC=60°,∠AOQ=30°,当t=2时,OM=2,∴PM=2 ,QM= ,∴PQ= .(2)当t≤4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N抵达B点,故点P,N在边BC上相遇.设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t= .即t= 秒时,P与N重合.(3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t,∴S△APN= ×8× t=4 t.②当4<t≤ 时,PN=8-3(t-4)=20-3t,∴S△APN= ×4 ×(20-3t)=40 -6 t.③当 <t≤8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,∴S△APN= ×4 ×(3t-20)=6 t-40 .④当8<t≤12时,ON=24-2t,N到OM距离为12 - t,N到CP距离为4 -(12 - t)= t-8 ,CP=t-4,BP=12-t,∴S△APN=S菱形OABC-S△AON-S△CPN-S△APB=32 - ×8×(12 - t)- (t-4)( t-8 )- (12-t)×4 =- t2+12 t-56 .综上,S与t函数关系式为S=  注:第一段函数定义域写为0<t≤4,第二段函数定义域写为4<t< 也能够 8.(丽水,23,10分)如图1,在△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s速度沿折线A-C-B运动,点Q从点A出发以a(cm/s)速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B时,两点同时停顿运动.设运动时间为x(s),△APQ面积为y(cm2),y关于x函数图象由C1,C2两段组成,如图2所表示.(1)求a值;(2)求图2中图象C2段函数表示式;(3)当点P运动到线段BC上某一段时,△APQ面积大于点P在线段AC上任意一点时△APQ面积,求x取值范围. 解析(1)如图①,过点P作PD⊥AB于点D.∵∠A=30°,PA=2x,∴PD=PA·sin30°=2x· =x,∴y= AQ·PD= ax·x= ax2.由图象得:当x=1时,y= ,则 a·12= ,∴a=1. (2)如图②,当点P在BC上时,PB=5×2-2x=10-2x,∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB,∴y= AQ·PD= x(10-2x)·sinB.由图象知,当x=4时,y= ,∴ ×4×(10-8)·sinB= .∴sinB= ,∴y= x(10-2x)· =- x2+ x.(3)令 x2=- x2+ x,解得x1=0(舍去),x2=2.由图象得当x=2时,函数y= x