科学计算可视化汇总体元投射法（十）体元投射法（十一）有向无环图：体元投射法（十三）有向无环图的拓扑排序：大家有疑问的，可以询问和交流非凸多面体网格的深度排序：判断三维空间多面体网格的凹凸性：非凸多面体网格的深度排序：虚线为voronoi图；实线为delaunay三角形四面体填补法输入网格的单元，节点信息取深度序列中第一个四面体体元投射法与光线投射法相结合体元投射法与光线投射法相结合体元投射法与光线投射法相结合构造三维不规则数据场中的等值面单元内等值面的几何表示等值面边界法向的连续性散乱数据的可视化（一）散乱数据的可视化：散乱数据的可视化（三）散乱数据的插值与拟合（一）散乱数据的插值与拟合（二）散乱数据的插值与拟合（三）法国的Bezier为此提出了一种新的参数曲线表示方法，因此称为Bezier曲线。后来又经过Gordon、Forrest和Riesenfeld等人的拓广、发展，提出了Ｂ样条曲线。这两种曲线都因能较好地适用于外形设计的特殊要求而获得了广泛的应用。一、Bezier曲线Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中：(1)只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上；(2)其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状；(3)第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点处的切线方向。１.Bezier曲线的数学表达式Bezier曲线是由多项式混合函数推导出来的，通常n+1个顶点定义一个n次多项式。其数学表达式为：(0≤t≤1)式中：Ｐi：为各顶点的位置向量Ｂi,n(t)：为伯恩斯坦基函数伯恩斯坦基函数的表达式为：假如规定：０＝１，０！＝１，则t=0:i=0,Bi,n(t)=1i0,Bi,n(t)=0P(0)=P0t=1:i=n,Bi,n(t)=1in,Bi,n(t)=0P(1)=Pn所以说，“只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过多边折线的起点和终点。下面我们通过对基函数求导，来分析两端切矢的情况。得：讨论：t=0:i=0:Bi-1,n-1(t)=0；Bi,n-1(t)=1.i=1:Bi-1,n-1(t)=1；Bi,n-1(t)=0.i>=2:Bi-1,n-1(t)=0；Bi,n-1(t)=0.（均出现0的非0次幂）t=0同理可得，当t=1时这两个式子说明：Bezier曲线在两端点处的切矢方向与特征多边形的第一条边和最后一条边相一致。２.二次和三次Bezier曲线(1)三个顶点：P0,P1,P2可定义一条二次(n=2)Bezier曲线：其相应的混合函数为：所以，根据式：二次Bezier曲线的表达形式为：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2（０≤t≤1)根据Bezier曲线的总体性质，可讨论二次Bezier曲线的性质：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)]P(0)=2(P1-P0)P(1)=2(P2-P1)P(1/2)=P2-P0(2)四个顶点P0、P1、P2、P3可定义一条三次Bezier曲线：***二、B样条曲线１.从Bezier曲线到Ｂ样条曲线(1)Bezier曲线在应用中的不足：缺乏灵活性一旦确定了特征多边形的顶点数(m个)，也就决定了曲线的阶次(m-1次)，无法更改；控制性差当顶点数较多时，曲线的阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；不易修改由曲线的混合函数可看出，其值在开区间(0,1)内均不为零。因此所定义之曲线在(0<t<1)的区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）为了克服Bezier曲线存在的问题，Gordon等人拓展了Bezier曲线，就外形设计的需求出发，希望新的曲线要：易于进行局部修改；更逼近特征多边形；是低阶次曲线。于是，用n次Ｂ样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条曲线的新型曲线。2.Ｂ样条曲线的数学表达式Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0≤t≤1；i=0,1,2,…,m,所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定m+n+1个顶点Pi(i=0,1,2,…,m+n)，则可定义m+1段n次的参数曲线。在以上表达式中：Fk,n(t)为n次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为：